[논문 리뷰] On the 3/4-Conjecture for Fix-Free Codes -- A Survey

Holger Schnettler|ArXiv.org|2007. 09. 17.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 종합적 리뷰는 고정자리 코드에 대한 3/4-추측을 체계적으로 검토한다. 이 추측은 고정자리 코드가 어떤 코드어 길이의 순서에 대해서도 Kraft합이 3/4 이하일 경우 존재한다고 주장한다. 본 논문은 기존 결과를 종합하고, 드 브루이jn 다이그래프와 π-시스템을 활용하여 q-진 알파벳으로 일반화하며, 코드 존재에 대한 충분조건을 제시한다. 이는 Kraft합이 5/8까지 가능하고, 길이 순서에 대한 구조적 제약 조건이 포함된 경우를 포함한다.

ABSTRACT

In this survey we concern ourself with the question, wether there exists a fix-free code for a given sequence of codeword lengths. For a given alphabet, we obtain the {\em Kraftsum} of a code, if we divide for every length the number of codewords of this length in the code by the total number of all possible words of this length and then take summation over all codeword lengths which appears in the code. The same way the Kraftsum of a lengths sequence $(l_1,..., l_n) $ is given by $\sum_{i=1}^n q^{-l_i} $, where $q$ is the numbers of letters in the alphabet. Kraft and McMillan have shown in \cite{kraft} (1956), that there exists a prefix-free code with codeword lengths of a certain lengths sequence, if the Kraftsum of the lengths sequence is smaller than or equal to one. Furthermore they have shown, that the converse also holds for all (uniquely decipherable) codes.\footnote{In this survey a code means a set of words, such that any message which is encoded with these words can be uniquely decoded. Therefore we omit in future the "uniquely decipherable" and write only "code".} The question rises, if Kraft's and McMillan's result can be generalized to other types of codes? Throughout, we try to give an answer on this question for the class of fix-free codes. Since any code has Kraftsum smaller than or equal to one, this answers the question for the second implication of Kraft-McMillan's theorem. Therefore we pay attention mainly to the first implication.

연구 동기 및 목표

• 고정자리 코드에 대한 3/4-추측에 관한 기존 결과를 종합하고 체계화하는 것. 이는 코드어 길이의 Kraft합이 3/4 이하일 경우 고정자리 코드가 존재한다는 주장이다.
• 기존의 이진 알파벳 기반 결과를 q-진 알파벳으로 확장하는 것. 특히 드 브루이jn 다이그래프와 정규 부분그래프를 활용하여 고정자리 코드를 구성하는 것.
• 길이 순서에 대한 다양한 구조적 제약 조건(예: 희박성, 주기성 등) 하에서 고정자리 코드의 존재에 대한 충분조건을 제공하는 것.
• Kraft-McMillan 부등식이 고정자리 코드에 대해 가지는 한계를 명확히 하여, 3/4가 최적임을 보이며, 3/4를 초과하는 모든 경계에 대해 반례가 존재함을 보여주는 것.
• 이진 고정자리 코드에 대한 새로운 충분조건을 제시하는 것. 이는 Kraft합이 5/8까지 가능하고, 짝수 길이 코드어에 대한 구조적 제약 조건이 포함된 경우를 포함한다.

제안 방법

• 주어진 길이 순서에 대해 고정자리 코드의 가능성을 평가하기 위해 Kraft합 공식 ∑ q^(-l_i)를 사용한다. 여기서 q는 알파벳 크기이다.
• 드 브루이jn 다이그래프 B_q(n)를 활용하여 코드어 구조를 모델링하고, 유효한 고정자리 코드에 대응하는 정규 부분그래프를 식별한다.
• π-시스템을 활용하여 드 브루이jn 다이그래프의 정규 부분그래프를 확장함으로써 고정자리 코드를 생성한다. 이는 원하는 길이 분포를 가진 코드를 체계적으로 구성할 수 있도록 한다.
• 조합론적 및 그래프 이론적 기법을 적용하여 코드 존재에 대한 충분조건을 유도한다. 이는 각 길이에서의 코드어 수에 대한 제약 조건을 포함한다.
• 특정 경우(예: 길이 7 또는 8 이하)에 대해 컴퓨터를 활용한 검증을 실시하여, 특히 이진 코드의 경우 유한 길이 순서에서 존재 여부를 확인한다.
• 반복된 길이를 가진 순서에 대해 코드 존재 여부를 판단하기 위한, 인덱스 h(i)와 길이 의존성에 기반한 곱셈 기반 부등식 기준을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 코드어 길이 순서의 Kraft합이 ≤ 3/4일 경우, 항상 고정자리 코드가 존재하는가?
• RQ2 3/4-추측은 이진에서 q-진 알파벳으로 일반화될 수 있는가? 그리고 길이 순서에 대한 어떤 구조적 조건이 코드 존재를 보장하는가?
• RQ3 Kraft합이 1/2를 초과하고도 3/4 이하일 경우, 고정자리 코드가 존재할 수 있는 충분조건는 무엇인가?
• RQ4 드 브루이jn 다이그래프와 그 정규 부분그래프는 고정자리 코드의 구성과 분석에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 고정자리 코드가 보장적으로 존재하는 Kraft합의 최 tight한 상한은 무엇이며, 이러한 상한을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 3/4-추측은 일반적으로 아직 증명되지 않았지만, 두 수준 코드 및 특정한 길이 패턴 제약이 있는 일부 이진 순서에서는 성립한다.
• 이진 코드의 경우, Kraft합이 5/8까지는 추측이 검증되었으며, Ye와 Yeung, Yekhanin의 구조적 제약 조건과 곱셈 부등식을 통한 충분조건가 제공되었다.
• 모든 γ > 3/4에 대해 Kraft합 < γ를 만족하는 길이 순서 중에서 고정자리 코드가 존재하지 않는 예가 존재함을 보여, 3/4가 추측의 최적 경계임을 증명한다.
• 모든 홀수 길이 코드어가 존재하지 않고, 짝수 길이 코드어가 길이 2n까지 기하급수적 증가를 보이며, 길이 2n에서의 수가 충분히 클 경우 고정자리 코드가 존재한다.
• 유한한 길이 순서가 길이 ≥ 4(짝수)로 제한되고, 코드어 수가 2^(l_min/2 - 2 + l) 이하일 경우 고정자리 코드가 존재한다.
• 모든 길이 ≥ 8이 0으로 설정된 이진 코드의 경우, 낮은 길이에서의 분포에 관계없이 고정자리 코드가 존재함을 컴퓨터 검색을 통해 확인하였다.