[논문 리뷰] On the absolute constants in the Berry-Esseen type inequalities for identically distributed summands

Irina Shevtsova|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 28.

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한 줄 요약

이 논문은 동일하게 분포된 확률변수의 경우 베르리-에스센 부등식에서 절대 상수 $ C_0 $ 의 상한을 향상시킨다. 코로레프와 셰브차코바(2010)의 방법을 개선함으로써, 저자들은 부등식 $ \Delta_n \leq 0.3328 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $ 를 확립하였으며, 이는 $ C_0 $ 에 대한 기존 최선의 추정치를 $ C_0 < 0.4756 $ 으로 더욱 좁혀내어 중심극한정리의 수렴 속도 상한을 상당히 강화한다.

ABSTRACT

By a modification of the method that was applied in (Korolev and Shevtsova, 2010), here the inequalities $Δ_n\leq0.3328(β_3+0.429)/\sqrt{n}$ and $Δ_n\leq0.33554(β_3+0.415)/\sqrt{n}$ are proved for the uniform distance $Δ_n$ between the standard normal distribution function and the distribution function of the normalized sum of an arbitrary number $n\geq1$ of independent identically distributed random variables with zero mean, unit variance and finite third absolute moment $β_3$. The first of these two inequalities improves one that was proved in (Korolev and Shevtsova, 2010), and as well sharpens the best known upper estimate for the absolute constant $C_0$ in the classical Berry--Esseen inequality to be $C_0&lt;0.4756$, since $0.3328(β_3+0.429)\leq0.3328\cdot1.429β_3&lt;0.4756β_3$ by virtue of the condition $β_3\geq1$. The second of these inequalities is also a structural improvement of the classical Berry--Esseen inequality, and as well sharpens the upper estimate for $C_0$ still more to be $C_0&lt;0.4748$.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 베르리-에스센 부등식에서 절대 상수 $ C_0 $ 의 상한을 개선하는 것.
• 유한한 세 번째 절대모멘트를 가진 동일하게 분포된 확률변수에 대해 중심극한정리의 수렴 속도 추정치를 향상시키는 것.
• $ \Delta_n $, 즉 표준화된 합의 분포와 표준정규분포 사이의 균일한 거리에 대한 기존의 상한을 날카롭게 하는 것.
• 세 번째 절대모멘트 $ \beta_3 $ 에 따라 의존하는 더 날카운 구조적 부등식을 제공하는 것.

제안 방법

• 코로레프와 셰브차코바(2010)에서 사용된 방법의 수정된 버전을 적용하여, 영점 근처에서 특성함수 차이의 추정치를 개선한다.
• 부드러움 부등식을 향상시키기 위해 영점 주변에서 특성함수 차이의 행동에 초점을 맞춘다.
• 세 번째 절대모멘트 $ \beta_3 $ 에 대한 경계를 활용하여 정규화된 합 분포 $ F_n(x) $ 에 적용한다.
• 균일한 거리 $ \Delta_n = \sup_x |F_n(x) - \Phi(x)| $ 는 특성함수 기법의 정교한 응용을 통해 경계된다.
• 특성함수 전개의 나머지 항에 대한 개선된 추정치를 도입하여 최종 경계를 더욱 강화한다.
• 표준 조건 하에서 분석이 수행된다: 평균 0, 분산 1, 그리고 유한한 세 번째 절대모멘트 $ \beta_3 \geq 1 $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일하게 분포된 합성항에 대해 베르리-에스센 부등식에서 절대 상수 $ C_0 $ 의 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ2 영점 근처에서 특성함수 차이 추정치를 개선함으로써 중심극한정리의 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 세 번째 절대모멘트 $ \beta_3 $ 의 포함이 $ \Delta_n $ 에 대한 경계의 날카움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 선형 보정 항을 $ \beta_3 $ 에 도입함으로써 $ \Delta_n \leq C_0 \beta_3 / \sqrt{n} $ 의 경계를 개선할 수 있는가?
• RQ5 현재 분석 기법을 고려할 때, $ \beta_3 \geq 1 $ 이라는 가정 하에 $ C_0 $ 가 도달할 수 있는 최고의 값은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 모든 $ n \geq 1 $ 과 모든 $ F \in \mathcal{F}_3 $ 에 대해 부등식 $ \Delta_n \leq 0.3328 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $ 를 확립한다.
• 이 결과는 코로레프와 셰브차코바(2010)에서 이전에 확립된 경계 $ \Delta_n \leq 0.33477 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $ 보다 향상된다.
• 새로운 경계는 $ C_0 < 0.4756 $ 를 암시하며, 이는 이전에 알려진 $ C_0 < 0.4774 $ 보다 더 날카운 상한 추정치이다.
• 이 개선은 영점 근처에서 특성함수 차이의 정교한 분석을 통해 이루어졌으며, 부드러움 부등식 기법이 향상되었다.
• $ C_0 < 0.4756 $ 는 $ \beta_3 \geq 1 $ 이라는 사실을 이용하여 $ 0.3328 \cdot 1.429 < 0.4756 $ 로 유도된다.
• 두 번째 부등식 $ \Delta_n \leq 0.33554 \cdot \frac{\beta_3 + 0.415}{\sqrt{n}} $ 도 확립되었으며, 이는 상한을 더 좁혀 $ C_0 < 0.4748 $ 로 개선한다.