[논문 리뷰] On the Accuracy and Stability of Various DG Formulations for Diffusion

Mohammad Alhawwary, Z.J. Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 07.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비연속 갈레르킨(DG) 형식인 SIPG, BR1, BR2, LDG의 확산 문제에 대한 정확도와 안정성을 바이오 네만 분석과 복합 모드 분석을 통해 분석한다. LDG는 고파면수 및 장시간 시뮬레이션에서 뛰어난 분산 정확도를 보이며, 페널티 매개변수 조정을 통해 BR1의 안정성과 성능이 향상되어 BR2의 행동에 가까워진다.

ABSTRACT

In this paper, we study the stability (in terms of the maximum time step) and accuracy (in terms of the wavenumber-diffusion properties) for several popular discontinuous Galerkin (DG) viscous flux formulations. The considered methods include the symmetric interior penalty formulation (SIPG), the first and second approaches of Bassi and Rebay (BR1, BR2), and the local discontinuous Galerkin method (LDG). For the purpose of stability, we consider the von Neumann stability analysis method for uniform grids with a periodic boundary condition. In addition, the combined-mode analysis approach previously introduced for the wave equation is utilized to analyze the dissipative error. This new approach can be used to study the performance of a particular DG and Runge-Kutta DG (RKDG) scheme for the entire extended wavenumber range. Thus, more insights into the robustness as well as accuracy and efficiency can be obtained. For instance, the LDG method provides larger dissipation for high-wavenumber components than the BR1 and BR2 approaches for short time simulations in addition to a lower error bound for long time simulations. The BR1 approach with added dissipation can have desirable properties and stability similar to BR2. For BR2, the penalty parameter can be adjusted to enhance the performance of the scheme. The results are verified through canonical numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 확산 문제에 대한 주요 DG 형식(SIPG, BR1, BR2, LDG)의 안정성과 정확도를 평가하기 위해.
• 완전 이산 RKDG 스킴에서 페널티 매개변수의 시간단계 안정성과 분산 오차에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 모든 파면수 스펙트럼에 걸쳐 파면수 의존성 분산을 평가하기 위해 복합 모드 분석을 적용하기 위해.
• 구현을 단순화하고 각 형식 간의 관계를 명확히 하기 위해 간단한 폐쇄형 표현식을 제공하기 위해.
• 선형 열 방정식과 버거스 방정식에 대한 수치 실험을 통해 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 주기적 경계 조건을 가진 균일 격자에서 바이오 네만 안정성 분석을 수행하여 최대 안정 시간단계를 결정하기 위해.
• 모든 파면수 범위에서 분산 오차를 평가하기 위해 복합 모드 분 析를 적용하여 장기 및 단기 행동에 대한 통찰을 제공하기 위해.
• RKDG 스킴에 대해 반연속 및 완전 이산 분석을 수행하여 페널티 매개변수와 안정성 및 정확도 간의 관계를 규명하기 위해.
• 핵심 DG 형식에 대한 간단한 폐쇄형 표현식을 유도하여 구현을 보조하고 구조적 유사성을 드러내기 위해.
• 기준 시험 케이스로, 정확한 해가 존재하는 가우시안 초기 조건을 가진 선형 열 방정식과 감쇠 버거스 난류를 사용하며, 검증을 위해 활용하기 위해.
• 다양한 다항식 차수(p = 1에서 5까지)와 시간 적분 방법(RK2, RK3, RK4)에 대해 형식을 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RKDG 스킴에서 SIPG, BR1, BR2, LDG 형식의 최대 안정 시간단계는 어떻게 비교되는가?
• RQ2 페널티 매개변수는 BR1 및 BR2 형식의 분산 오차와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 LDG 형식은 장시간 시뮬레이션에서 고파면수 성분의 정확한 분산 행동을 어떻게 근사하는가?
• RQ4 페널티 매개변수 조정을 통해 안정화된 BR1 형식이 BR2와 유사한 분산 특성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 각 형식 간의 단기 및 장기 분산 행동은 어떻게 다름을 보이며, 관찰된 차이를 설명할 수 있는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 단기 시뮬레이션에서 LDG 형식은 BR1 및 BR2보다 고파면수 성분에 대해 더 큰 분산을 제공하며, 장기 시뮬레이션에서는 더 낮은 오차 한계를 보인다.
• BR2 형식에서 페널티 매개변수 η를 조정하면 형식 성능이 크게 향상되며, 최적의 값은 안정성과 정확도를 모두 향상시킨다.
• p=2일 때 약 1.33의 η를 가진 BR1 형식은 반연속 및 완전 이산 케이스에서 BR2 형식(η=2)과 거의 동일한 분산 행동을 보인다.
• 최대 안정 시간단계의 약 50% 수준에서, 모든 형식은 반연속 분산 행동을 복원한다. Δτ_max에 가까워질수록 고파면수 성분의 정확한 감쇠보다 느린 감쇠가 나타난다.
• 1차원 선형 열 방정식에서, 동일한 다항식 차수와 시간 적분 방법을 사용할 경우, BR2 형식의 Δτ_max는 LDG보다 약 2.5~3.1배 크다.
• 감쇠 버거스 난류 시험에서 LDG-η0가 에너지 스펙트럼을 가장 잘 캡처하여 실용적인 비선형 상황에서 뛰어난 정확도를 확인한다.