[논문 리뷰] On the accuracy of stiff-accurate diagonal implicit Runge-Kutta methods for finite volume based Navier-Stokes equations

Jiawei Wan, Ahsan Kareem외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정렬된 격자에서 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식의 유한체적 이산화에 대해 신규 동역학 보간 프레임워크를 제안하며, 강성 정확도를 갖춘 대각형 은닉 룬게-쿠타( DIRK) 스킴이 속도와 압력 모두에서 고전적 순서의 정확도를 달성할 수 있도록 한다. 반디아이스계수 시스템을 인덱스-2 미분代수방정식(DAE)으로 간주하고 동역학 보간을 재구성함으로써 일致성 오차를 제거하여, 2차 및 3차 DIRK 스킴이 추가 계산 비용 없이 최적 수렴성을 확보한다.

ABSTRACT

The paper aims at developing low-storage implicit Runge-Kutta methods which are easy to implement and achieve higher-order of convergence for both the velocity and pressure in the finite volume formulation of the incompressible Navier-Stokes equations on a static collocated grid. To this end, the effect of the momentum interpolation, a procedure required by the finite volume method for collocated grids, on the differential-algebraic nature of the spatially-discretized Navier-Stokes equations should be examined first. A new framework for the momentum interpolation is established, based on which the semi-discrete Navier-Stokes equations can be strictly viewed as a system of differential-algebraic equations of index 2. The accuracy and convergence of the proposed momentum interpolation framework is examined. We then propose a new method of applying implicit Runge-Kutta schemes to the time-marching of the index 2 system of the incompressible Navier-Stokes equations. Compared to the standard method, the proposed one significantly reduces the numerical difficulties in momentum interpolations and delivers higher-order pressures without requiring additional computational effort. Applying stiff-accurate diagonal implicit Runge-Kutta (DIRK) schemes with the proposed method allows the schemes to attain the classical order of convergence for both the velocity and pressure. We also develop two families of low-storage stiff-accurate DIRK schemes to reduce the storage required by their implementations. Examining the two dimensional Taylor-Green vortex as an example, the spatial and temporal accuracy of the proposed methods in simulating incompressible flow is demonstrated.

연구 동기 및 목표

• 정렬된 격자에서의 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식에 대한 룬게-쿠타 시간 이산화에서 일관성 없는 동역학 보간으로 인한 시간 정확도 손실 문제를 해결하기 위해.
• 유한체적 이산화와 함께 동역학 보간을 적용할 때 반디아이스계수 시스템을 인덱스-2 미분代수방정식(DAE)으로 공식적으로 설정하기 위해.
• 강성 정확도를 갖춘 DIRK 스킴을 사용할 경우 속도와 압력 모두에서 고전적 수렴 순서를 유지하는 새로운 동역학 보간 프레임워크를 개발하기 위해.
• 저메모리, 강성 정확도를 갖춘 DIRK 스킴(SDIRK2 및 SDIRK3)을 구성하여 최소한의 메모리 사용으로 고차 정확도를 유지하기 위해.
• 다양한 경계 조건과 격자 유형에서 속도와 압력에 대해 최적의 공간 및 시간 수렴성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 반디아이스계수 시스템의 인덱스-2 DAE 구조와 일치하는 변분 형식에 기반한 새로운 동역학 보간 프레임워크를 도입하여 일관성을 확보한다.
• 강성 정확도를 갖춘 대각형 은닉 룬게-쿠타(DIRK) 스킴을 사용하여 DAE 시스템의 시간 이산화를 재구성함으로써, 속도와 압력 모두가 고전적 순서의 정확도를 확보한다.
• 두 가지 유형의 저메모리 DIRK 스킴을 개발한다: 하나는 속도 2개와 압력 1개의 레지스터를 필요로 하며, 다른 하나는 속도 3개와 압력 1개의 레지스터를 필요로 하여 메모리 소비를 줄인다.
• 비선형성 처리에 피카르 선형화를, 압력-속도 결합 처리에 PISO를 사용하는 해법 알고리즘을 구현하여 각 내부 단계에서 이산 연속성 방정식을 강제로 유지한다.
• 구조적 직각 격자에서의 테일러-그린 와이브로스를 벤치마크로 사용하여 다양한 경계 조건 하에서 공간 및 시간 정확도를 검증한다.
• 표준 방법과의 비교를 통해 제안된 프레임워크가 2차 공간 수렴성과 고전적 시간 수렴성을 확보하는 반면, 표준 방법은 비정적 경계 조건 하에서 실패함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정렬된 격자에서의 유한체적 방법에 적용된 표준 동역학 보간은 강성 정확도를 갖춘 DIRK 스킴을 사용할 경우 속도와 압력 모두에서 고전적 순서의 정확도를 유지하는가?
• RQ2 반디아이스계수 나비에-스토크스 시스템의 미분代수방정식 구조(인덱스-2)는 룬게-쿠타 시간 이산화 방법의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 경계 조건 하에서도 압력의 시간 이산화에서 고전적 수렴 순서를 복원할 수 있는 새로운 동역학 보간 프레임워크를 설계할 수 있는가?
• RQ4 동역학 보간 방법은 암시적 룬게-쿠타 시간 이산화에서 압력 필드의 시간 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유한체적 시뮬레이션에서 메모리 사용을 최소화하면서도 고차 정확도와 안정성을 유지할 수 있는 저메모리 DIRK 스킴을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 동역학 보간 프레임워크는 구조적 격자에서 GFISDM-Z 및 GFISDM-H 스킴에 대해 속도와 압력 모두가 2차 공간 수렴성을 확보한다.
• SDIRK2 및 SDIRK3 스킴과 함께 제안된 방법을 사용할 경우, 비정적 딜레르흐 경계 조건 하에서도 속도와 압력의 시간 해가 각각 2차 및 3차 고전적 수렴 순서를 달성한다.
• 반면 표준 방법은 비정적 경계 조건 하에서 압력의 2차 시간 정확도를 확보하지 못하며, 결과적으로는 1차 수렴성에 그친다.
• 충분한 피카르 반복 수를 사용할 경우, SDIRK3는 비선형성이 강한 문제에서 SDIRK2보다 정확도 대비 계산 비용에서 뛰어난 성능을 보인다.
• 피카르 반복을 조기에 종료하더라도, 각 내부 단계에서 이산 연속성 방정식을 강제로 유지함으로써 제안된 방법은 최적 수렴성을 유지한다.
• 분석은 다항식 기반 보간을 사용하는 정적, 구조적 직각 및 곡선 격자에 대해 유효하며, 기하 보존 법칙의 추가 강제 조건 없이 변형 격자에는 적용되지 않는다.