[논문 리뷰] On the action of the dual group on the cohomology of perverse sheaves on the affine grassmannian

Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|2000. 05. 02.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$ 위의 펄스비 복합체(cohomology)에 대한 이중 군 $G^{\widehat{}}$의 작용을 조사하며, 간단한 루트에 관련된 연산자 $\mathbb{e}_i$와 $\mathbb{f}_i$가 세르 관계를 만족함을 보여, $\mathfrak{g}^\vee$의 보편 포락함수 대수 $U(\mathfrak{g}^\vee)$의 작용을 공호모로 실현한다. 핵심 결과는 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$ 위의 교차 코호모로지 복합체의 코호모로지가 랑랜즈 이중 리 대수 $\mathfrak{g}^\vee$의 표현을 지닌다는 것이며, 준최소군의 코웨이트에 대해 세르 관계의 명시적 검증이 이루어진다.

ABSTRACT

It was proved by Ginzburg and Mirkovic-Vilonen that the $G(O)$-equivariant perverse sheaves on the affine grassmannian of a connected reductive group $G$ form a tensor category equivalent to the tensor category of finite dimensional representations of the dual group $G^\vee$. The proof use the Tannakian formalism. The purpose of this paper is to construct explicitely the action of $G^\vee$ on the global cohomology of a perverse sheaf.

연구 동기 및 목표

• 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$ 위의 $G(O)$-여기성 펄스비 복합체의 코호모로지에 대한 랑랜즈 이중군 $G^\vee$의 작용을 이해하는 것.
• 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$ 위의 교차 코호모로지 복합체의 코호모로지가 보편 포락함수 대수 $U(\mathfrak{g}^\vee)$의 표현을 지닌다는 것을 확립하는 것.
• 컨볼루션 작용에 의해 유도된 연산자 $\mathbb{e}_i$와 $\mathbb{f}_i$가 코호모로지에서 세르 관계를 만족하는지 검증하는 것.
• 리 하위군과 고정점 집합에 대한 제약을 통해 준최소군의 코웨이트 $\lambda^\vee$에 대해 $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$의 코호모로지의 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$ 위의 $G(O)$-여기성 펄스비 복합체의 범주 $\mathcal{P}_G$에 대한 미르코비치–비론엔 컨볼루션 곱을 사용한다.
• 범주 $\mathcal{P}_G$를 리 하위군 $M\subset G$에 대한 $\mathrm{Gr}^M$ 위의 복합체의 범주와 연결하기 위해 제약 함자 $\mathrm{res}^{GM}$을 적용한다.
• 컨볼루션과 제약에 의해 유도된 연산자 $\mathbb{e}_i$와 $\mathbb{f}_i$의 작용을 통해 $S_{\mu^\vee} \subset \overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$의 조각(strata)의 코호모로지를 분석한다.
• 준최소군의 $\lambda^\vee$에 대해 $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee} \cap \mathrm{Gr}^{M_i}$의 기하학을 연구하며, 토루스 작용에 대한 고정점 집합을 식별하고 선형 번들의 $\mathcal{L}(\lambda)$를 사용한다.
• 코호모로지의 비영성과 쌍대형 $\langle \alpha_i, \mu^\vee \rangle$를 분석하여 세르 관계 $[\mathbb{e}_i, \mathbb{f}_j] = \delta_{ij} \mathbb{h}_i$를 검증한다.
• $H^*_{c}(S_{\mu^\vee}, \mathcal{IC}_{\lambda^\vee}) \neq 0$가 특정 $\mu^\vee$에 대해서만 성립함을 이용하여 연산자의 지지집합을 제약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 군 $G^\vee$는 애질라그라스만니안 위의 $G(O)$-여기성 펄스비 복합체의 코호모로지에 어떻게 작용하는가?
• RQ2 준최소군의 주어진 코웨이트 $\lambda^\vee$에 대해 교차 코호모로지 복합체 $\mathcal{IC}_{\lambda^\vee}$의 코호모로지의 구조는 어떠한가?
• RQ3 간단한 루트에 관련된 연산자 $\mathbb{e}_i$와 $\mathbb{f}_i$는 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$의 코호모로지에서 세르 관계를 만족하는가?
• RQ4 토루스 작용에 대한 $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$의 고정점 집합은 조각의 코호모로지의 지지집합과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 애질라그라스만니안 $\mathrm{Gr}^G$ 위의 교차 코호모로지 복합체 $\mathcal{IC}_{\lambda^\vee}$의 코호모로지는 보편 포락함수 대수 $U(\mathfrak{g}^\vee)$의 표현을 지닌다.
• 준최소군의 주어진 코웨이트 $\lambda^\vee$에 대해, 코호모로지 $H^*_{c}(S_{\mu^\vee}, \mathcal{IC}_{\lambda^\vee})$는 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$, $\mu^\vee = 0$, 또는 $\mu^\vee = -\alpha_1^\vee$인 경우에만 비영이 된다.
• 연산자 $\mathbb{e}_1$은 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$일 때에만 비자명하게 작용하며, 마찬가지로 $\mathbb{f}_2$는 $\langle \alpha_2, \mu^\vee \rangle = 1$일 때에만 비자명하다.
• 관계 $[\mathbb{e}_1, \mathbb{f}_2] = 0$는 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$ 이면서 $\langle \alpha_2, \mu^\vee + \alpha_1^\vee \rangle = 1$이면 $\langle \alpha_2, \mu^\vee \rangle = 4$가 되는데, 이는 $\mu^\vee \in \Omega(\lambda^\vee)$의 조건을 만족할 수 없기 때문에 성립한다.
• 관계 $[\mathbb{e}_2, \mathbb{f}_1] = 0$는 유사하게 모순을 통해 검증되며, $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -2$는 $\Omega(\lambda^\vee)$의 제약 조건을 만족할 수 없기 때문이다.