[논문 리뷰] On the affine analogue of Jack's and Macdonald's polynomials

Pavel Etingof, Alexander Kirillov|ArXiv.org|1994. 03. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 애फ인 근계 $\hat{A}_{n-1}$ 에 대한 잭과 맥도널드의 대칭다항식의 애프린 형태를 도입하며, 이를 애프린 수리티우스 연산자의 고유함수로, 그리고 애프린 리 대칭 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 과 양자 애프린 대칭에서의 상호연결자(trace)로 구성한다. 주요 기여는 유한차원 맥도널드의 내적 및 특수값 항등식을 애프린 설정으로 일반화한 것으로, 모듈라 군 작용의 단위성에 대한 추측과 초등형 이론 내적과의 연결을 포함한다.

ABSTRACT

We define the analogue of Jack's (Jacobi) polynomials, which were defined for finite-dimensional root system by Heckman and Opdam as eigenfunctions of trigonometric Sutherland operator for the affine root system $\hat A_{n-1}$. In the affine case, we define the polynomials as eigenfunctions of "affine Sutherland operator", which is Calogero-Sutherland operator with elliptic potential plus the term involving derivative with respect to the modular parameter. We show that such polynomials can be constructed explicitly as traces of certain intertwiners for affine Lie algebra. Also, we define the q-analogue of this construction, which gives affine analogues of Macdonald's polynomials, and show the (conjectured) relation between the Macdonald's inner product identities for affine case and scalar product of conformal blocks in the WZW model.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 이론을 확장하여 애프린 근계 $\hat{A}_{n-1}$ 에 대한 잭과 맥도널드의 대칭다항식의 애프린 형태를 정의하고 연구하는 것.
• 이러한 다항식을 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 모듈의 상호연결자에 대한 재정규화된 트레이스로 표현 이론적으로 구성하는 것.
• 통합 모듈의 특성의 모듈라 불변성 성질을 애프린 잭 다항식의 전체 공간으로 일반화하는 것.
• 맥도널드의 특수값 항등식에 대한 애프린 형태의 추측과 애프린 잭 다항식 공간에서 모듈라 군 작용의 단위성에 대해 탐색하는 것.
• 애프린 잭 다항식의 내적을 웨스-지움노-위텐 모델의 초등형 차단 내적과 연결하여, 유한차원 내적의 발산을 정규화할 수 있음을 시사하는 것.

제안 방법

• 유한차원 수리티우스 연산자를 일반화한, 타원 함수를 계수로 가지는 포물형 미분 연산자로 애프린 수리티우스 연산자를 정의한다.
• 유한차원 사례와 유사한 삼각형 조건과 고유값 성질을 사용하여, 이 애프린 수리티우스 연산자의 고유함수로 애프린 잭 다항식을 구성한다.
• $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 의 버마 모듈과 평가 표현 사이의 상호연결자에 대한 트레이스로 애프린 잭 다항식을 실현하며, [EK2]의 유한차원 구성으로 일반화한다.
• 양자 애프린 대칭에서의 상호연결자 트레이스를 통해 애프린 맥도널드 다항식을 $q$-변형으로 정의한다.
• 고정된 수준에서 애프린 잭 다항식이 생성하는 공간의 모듈라 성질을 연구하며, 이가 일정한 가중치를 가진 모듈라 불변임을 보인다.
• 이 공간에서 모듈라 군의 프로젝티브 표현이 비자명한 내적에 관해 단위성임을 추측하며, 이 내적이 초등형 차단 내적과 일치할 수 있음을 제기한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잭과 맥도널드의 다항식은 어떻게 애프린 근계 $\hat{A}_{n-1}$ 에 일반화될 수 있으며, 고유함수 및 삼각형 기저라는 정의적 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ2 애프린 리 대칭 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 에 대한 상호연결자에 기반한 애프린 잭 다항식의 표현 이론적 해석은 무엇인가?
• RQ3 애프린 잭 다항식은 통합 모듈의 특성과 유사한 모듈라 불변성 성질을 만족하는가?
• RQ4 애프린 잭 다항식 공간의 내적은 단위성을 가지며, 웨스-지움노-위텐 모델의 초등형 차단 내적과 일치하는가?
• RQ5 애프린 맥도널드 다항식에 대해 맥도널드의 특수값 항등식의 애프린 형태를 제안하고 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 애프린 잭 다항식은 계수가 타원 함수인 포물형 미분 연산자인 애프린 수리티우스 연산자의 고유함수로 정의된다.
• 이 다항식들은 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 의 버마 모듈과 평가 표현 사이의 상호연결자에 대한 재정규화된 트레이스로 나타나며, 유한차원 구성의 일반화이다.
• 고정된 수준에서 애프린 잭 다항식의 공간은 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 작용에 대해 모듈라 불변이며, 잘 정의된 가중치를 가진다. 이는 특성의 모듈라 불변성의 일반화이다.
• 애프린 잭 다항식 공간에서 모듈라 군의 프로젝티브 표현은 특성의 경우와 달리 무한차원일 수 있다.
• 애프린 잭 다항식의 내적은 단위성임을 추측하며, 이는 웨스-지움노-위텐 모델의 초등형 차단 내적과 일치할 수 있다. 이는 맥도널드 내적 항등식이 $p \to 1$ 에서의 행동에 의해 유한차원 내적의 발산을 정규화하는 데 기여할 수 있다.
• 애프린 맥도널드 다항식에 대해 맥도널드의 특수값 항등식의 애프린 형태를 추측하며, 오른쪽 항은 유리수에서의 $\Gamma$-함수로 표현되며, 알려진 초등형 이론 결과와 일치한다.