[논문 리뷰] On the almost sure running maxima of solutions of affine neutral stochastic functional differential equations

John A. D. Appleby, Huizhong Appleby-Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 지연을 가진 애파인 중립 스토크라스틱 함수 미분 방정식의 해에 대한 런닝 최댓값의 정확한 거의 확실한 성장률을 규명한다. 결정론적 해석행렬의 지수적 감쇠와 가우시안 과정 이론을 융합함으로써, 저자들은 런닝 최댓값이 거의 확실하게 √(2 log t) 비례로 성장함을 증명하며, 성장 상수는 시스템의 확산 계수와 해석행렬 성질에 의해 결정된다.

ABSTRACT

This paper studies the large fluctuations of solutions of finite--dimensional affine stochastic neutral functional differential equations with finite memory, as well as related nonlinear equations. We find conditions under which the exact almost sure growth rate of the running maximum of each component of the system can be determined, both for affine and nonlinear equations. The proofs exploit the fact that an exponentially decaying fundamental solution of the underlying deterministic equation is sufficient to ensure that the solution of the affine equation converges to a stationary Gaussian process.

연구 동기 및 목표

• 애파인 중립 스토크라스틱 함수 미분 방정식(SNFDE)의 해에 대한 런닝 최댓값의 정확한 거의 확실한 성장률을 규명하는 것.
• 기존의 안정성 이론을 점점 수렴하지 않는 SNFDE에까지 확장하여, 수렴이 아닌 큰 변동성에 초점을 맞추는 것.
• 해석행렬이 지수적으로 감쇠함으로써 해 과정이 정적분 가우시안 과정처럼 행동하는 조건을 설정하는 것.
• 지연 항에 대해 측도 기반 표현을 사용하여 점 지연과 분포 지연을 모두 분석하는 것.
• 적절한 감쇠 조건 하에서 애파인 SNFDE의 약한 비선형 편항으로의 결과 확장을 도모하는 것.

제안 방법

• 기본 결정론적 방정식의 미분 해석행렬을 활용하며, 지수 감쇠를 가정하여 해의 점점 수렴하는 성질을 보장한다.
• 애파인 SNFDE의 해를 연관된 비중립 SFDE의 해에 대한 편미분으로 표현함으로써, 이전 연구에서 사용된 분석 기법을 재사용할 수 있도록 한다.
• 노름 동치와 최대부등식을 활용하여 시간 간격 동안 과정의 상한을 제어한다.
• 한계 가우시안 과정에 대해 반복 로그 법칙을 적용하여 런닝 최댓값의 거의 확실한 성장률을 유도한다.
• ε-근사와 그로워랄 유형 부등식을 활용한 부트스트랩 추론을 통해 원래 과정과 보조 과정 간의 차이를 유계화한다.
• 정규화된 과정에 대해 limsup 및 liminf 분석을 통해 정규화된 런닝 최댓값이 결정론적 상수로 거의 확실하게 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 지연을 가진 애파인 중립 SFDE의 해에 대한 런닝 최댓값의 정확한 거의 확실한 성장률은 무엇인가?
• RQ2 애파인 SNFDE의 해가 정적분 가우시안 과정으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 지연된 도함수를 포함하는 중립 항이 존재할 경우, 비중립 방정식과 비교해 거의 확실한 점근적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 해석행렬이 미분 가능하지 않은 경우, 즉 중립 방정식에서 런닝 최댓값의 성장률을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 결과를 애파인 SNFDE의 비선형 편항으로 확장할 수 있는 범위는 어느 정도인가?

주요 결과

• 해 과정의 각 성분에 대한 런닝 최댓값은 거의 확실하게 √(2 log t) 비례로 성장하며, 성장 상수는 확산 계수 행렬의 i번째 성분인 σ_i와 같다.
• 각 성분 i에 대해 거의 확실하게 limsup_{t→∞} |X_i(t)| / √(2 log t) = σ_i 이다.
• 또한 거의 확실하게 liminf_{t→∞} |X_i(t)| / √(2 log t) = σ_i 이며, 이는 정규화된 과정이 성장률 σ_i 주변을 진동함을 의미한다.
• 해 과정의 최대 노름은 거의 확실하게 limsup_{t→∞} |X(t)|_∞ / √(2 log t) = max_{1≤i≤d} σ_i 를 만족한다.
• 해 X(t)와 그 한계 가우시안 과정 Y(t) 사이의 차이는 √(2 log t)에 비례하여 무시할 만큼 작아지며, 즉 |X_i(t) - Y_i(t)| / √(2 log t) → 0 a.s. 이다.
• 비선형성의 비선형 부분이 선형 부분에 비해 점점 무시할 수 있을 정도로 작아지는 조건 하에서, 결과는 약한 비선형 편항을 가진 애파인 SNFDE로까지 확장된다.