[논문 리뷰] On the $\alpha$-spectral radius of graphs

Haiyan Guo, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 09.

Graph theory and applications참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다양한 그래프 클래스에 대해 α-스펙트럼 반지름 ρα(G) = Aα(G) = αD(G) + (1−α)A(G)의 최대 고유값을 조사한다. 비순환 및 비정규 그래프에 대해 날카러운 상한을 확립하고, 두 번째로 큰 α-스펙트럼 반지름을 가지는 유일한 트리와 직경 제약 조건 하에서 최대 α-스펙트럼 반지름을 가지는 유일한 트리를 규명하며, 스펙트럼 반지름에 대한 간선 이동 효과를 증명하고, 최대 차수와 ρα(G)의 차이를 최대화하는 그래프를 특성화한다.

ABSTRACT

For $0\le \alpha\le 1$, Nikiforov proposed to study the spectral properties of the family of matrices $A_{\alpha}(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$ of a graph $G$, where $D(G)$ is the degree diagonal matrix and $A(G)$ is the adjacency matrix. The $\alpha$-spectral radius of $G$ is the largest eigenvalue of $A_{\alpha}(G)$. We give upper bounds for $\alpha$-spectral radius for unicyclic graphs $G$ with maximum degree $\Delta\ge 2$, connected irregular graphs with given maximum degree and and some other graph parameters, and graphs with given domination number, respectively. We determine the unique tree with second maximum $\alpha$-spectral radius among trees, and the unique tree with maximum $\alpha$-spectral radius among trees with given diameter. For a graph with two pendant paths at a vertex or at two adjacent vertex, we prove results concerning the behavior of the $\alpha$-spectral radius under relocation of a pendant edge in a pendant path. We also determine the unique graphs such that the difference between the maximum degree and the $\alpha$-spectral radius is maximum among trees, unicyclic graphs and non-bipartite graphs, respectively.

연구 동기 및 목표

• 나무에서의 α-스펙트럼 반지름에 대한 기존 상한을 나무에서 비순환 그래프로 확장한다.
• 모든 나무 중에서 두 번째로 큰 α-스펙트럼 반지름을 가지는 유일한 나무를 규명한다.
• 주어진 직경을 가진 모든 나무 중에서 최대 α-스펙트럼 반지름을 가지는 유일한 나무를 규명한다.
• 매달린 경로에 있는 매달린 간선을 이동시키는 것이 α-스펙트럼 반지름에 미치는 영향을 분석한다.
• 나무, 비순환 그래프, 비이분 그래프의 클래스에서 최대 차수와 α-스펙트럼 반지름의 차이를 최대화하는 유일한 그래프를 특성화한다.

제안 방법

• D(G)는 차수 행렬이고 A(G)는 인접 행렬인 Aα(G) = αD(G) + (1−α)A(G) 행렬을 사용한다.
• 0 ≤ α < 1일 때 연결 그래프에 대해 프로페르-프로베니우스 정리를 적용하여 유일한 양의 고유벡터(프로페르 벡터)가 존재함을 보장한다.
• 변분 방법과 고유값의 교차 성질을 활용하여 그래프 수정 시 ρα(G)와 ρα(G′)를 비교한다.
• 레마 2.1과 추론 2.1을 활용하여 특정 간선 이동 연산이 ρα(G)를 엄격히 증가시킴을 증명한다.
• 대수적 변환과 삼차 다항식의 근 분석을 통해 별에 하나의 추가 간선이 있는 그래프 Sn + e의 α-스펙트럼 반지름 ρα(Sn + e)를 계산한다.
• 코시-슈바르츠 부등식과 트레이스 항등식을 적용하여 스펙트럼 에너지와 에스트라다 지수에 대한 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수 ∆ ≥ 2인 비순환 그래프의 α-스펙트럼 반지름에 대한 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ2 순서 n인 모든 나무 중에서 두 번째로 큰 α-스펙트럼 반지름을 가지는 나무는 무엇인가?
• RQ3 고정된 직경을 가진 모든 나무 중에서 최대 α-스펙트럼 반지름을 가지는 나무는 무엇인가?
• RQ4 매달린 경로에 있는 매달린 간선을 이동시키는 것은 α-스펙트럼 반지름에 어떤 영향을 미치며, 이를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ5 나무, 비순환 그래프, 비이분 그래프의 클래스에서 최대 차수와 α-스펙트럼 반지름의 차이를 최대화하는 그래프는 무엇인가?

주요 결과

• 최대 차수 ∆ ≥ 2인 나무에 대한 α-스펙트럼 반지름 상한은 비순환 그래프에도 동일하게 적용된다.
• 모든 나무 중에서 두 번째로 큰 α-스펙트럼 반지름을 가지는 유일한 나무는 중심 간선이 차수 2와 n−2인 정점들을 연결하는 더블 스타 S_{2,n-2}이다.
• 주어진 직경 d를 가진 나무 중에서 최대 α-스펙트럼 반지름을 가지는 유일한 나무는 적절한 k에 대해 더블 스타 S_{k,d−k}이다.
• 정점 또는 인접한 두 정점에 매달린 경로가 두 개인 그래프의 경우, 매달린 간선을 중심 쪽으로 이동시키면 α-스펙트럼 반지름이 증가하며, 이는 [26]에서 제기된 추측을 확인한다.
• 나무, 비순환 그래프, 비이분 그래프의 클래스에서 최대 차수와 α-스펙트럼 반지름의 차이를 최대화하는 유일한 그래프는 별에 하나의 추가 간선이 있는 그래프 Sn + e이다.
• Sn + e의 α-스펙트럼 반지름은 삼차 방정식 h(t) = t³ − (α(n+1)+1)t² + ((α²+3α−1)(n−1)+α(α+1))t + (1−2α)(α+1)(n−1) − 2(1−α)² = 0의 최대 근이다.