[논문 리뷰] On the Amenability of Compact and Discrete Hypergroup Algebras

Ahmadreza Azimifard|ArXiv.org|2009. 08. 11.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 교환적 컴팩트 하이퍼군 $K$의 하이퍼군 대수 $L^1(K)$가 애매성(amenability)을 갖는다 할 때, 이는 이중 공간 $\widehat{K}$ 위의 플랑카렐 측도 $\pi_K$가 유계임과 동치임을 증명한다. 무한 이산 하이퍼군의 경우, 만약 무한한 곳에서 사라지는 성질을 갖는 특성 $\alpha \in \widehat{K}$ 가 존재한다면 $L^1(K)$ 는 애매성이 성립하지 않으며, $\pi_K(\{\alpha\}) = 0$ 이면 $\alpha$-왼쪽 애매성조차 성립하지 않는다. 이 결과들은 군 대수에서의 애매성 기준을 하이퍼군 대수로 확장하며, 쌍대성과 모듈러 이론적 도함수를 사용한다.

ABSTRACT

Let $K$ be a commutative compact hypergroup and $L^1(K)$ the hypergroup algebra. We show that $L^1(K)$ is amenable if and only if $π_K$, the Plancherel weight on the dual space $\widehat{K}$, is bounded. Furthermore, we show that if $K$ is an infinite discrete hypergroup and there exists $α\in \widehat{K}$ which vanishes at infinity, then $L^1(K)$ is not amenable. In particular, $L^1(K)$ fails to be even $α$-left amenable if $π_K(\{α\})=0$.

연구 동기 및 목표

• 교환적 컴팩트 하이퍼군 $K$에 대해 하이퍼군 대수 $L^1(K)$가 애매성이 성립하는 조건을 규명하는 것.
• 기존의 군 대수에서의 애매성 기준을 하이퍼군 대수의 더 넓은 맥락으로 확장하는 것.
• 이중 공간 $\widehat{K}$ 위의 플랑카렐 측도 $\pi_K$ 가 $L^1(K)$ 의 애매성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 무한 이산 하이퍼군에서 무한한 곳에서 사라지는 특성을 갖는 특성에 의해 애매성이 실패하는 경우를 분석하는 것.
• 하이퍼군 대수의 맥락에서 애매성과 $\alpha$-왼쪽 애매성의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 이중 공간 $\widehat{K}$ 위의 플랑카렐 측도 $\pi_K$ 의 유계성에 기반하여, 교환적 컴팩트 하이퍼군에 대해 $L^1(K)$ 의 애매성 조건을 특성화하였다.
• 컨볼루션 사상 $\pi$ 를 기반으로, $L^1(K) \otimes_p L^1(K)$ 에서의 유계 근사 대각선의 존재를 애매성의 기준으로 사용하였다.
• 적절한 바나흐 $L^1(K)$-이중모듈러 $X$ 에 대해 비내부 도함수 $D: L^1(K) \to X$ 를 구성하였으며, $\pi_K$ 가 무한히 커질 경우 $D$ 는 내부 도함수일 수 없음을 보였다.
• 모듈러 구조를 $X^*$ 에 적용하고, 특성 $\alpha \in \widehat{K}$ 를 통한 $L^1(K)$ 의 작용을 통해 $\alpha$-왼쪽 모듈러 작용을 정의하고 $\alpha$-왼쪽 애매성을 분석하였다.
• 푸리에-스틸티제스 변환과 호모모르피즘 $\varphi_\alpha(f) = \widehat{f}(\alpha)$ 의 핵을 통한 최대 이상수의 식별을 활용하였다.
• 쌍대성과 약한-* 위상의 추론을 사용하여 $X$ 가 이중 모듈러임을 보이고, $X$ 로의 도함수들이 잘 정의되고 연속적임을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교환적 컴팩트 하이퍼군 $K$ 에 대해 하이퍼군 대수 $L^1(K)$ 가 언제 애매성이 성립하는가?
• RQ2 이중 공간 $\widehat{K}$ 위의 플랑카렐 측도 $\pi_K$ 는 $L^1(K)$ 의 애매성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 조건에서 이산 하이퍼군 $K$ 와 $\alpha \in \widehat{K}$ 에 대해 $L^1(K)$ 가 조차 $\alpha$-왼쪽 애매성이 성립하지 않는가?
• RQ4 군 대수에서의 애매성 기준은 컴팩트 및 이산 맥락에서 하이퍼군 대수로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 특성의 무한한 곳에서의 감쇠와 이산 하이퍼군에서의 $L^1(K)$ 의 비애매성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 하이퍼군 대수 $L^1(K)$ 는 이중 공간 $\widehat{K}$ 위의 플랑카렐 측도 $\pi_K$ 가 유계일 때이고 그때에만 애매성이 성립한다.
• 무한 이산 하이퍼군 $K$ 에 대해, 만약 무한한 곳에서 사라지는 성질을 갖는 특성 $\alpha \in \widehat{K}$ 가 존재한다면, $L^1(K)$ 는 애매성이 성립하지 않는다.
• 그러한 $\alpha$ 에 대해 $\pi_K(\{\alpha\}) = 0 $ 이면, $L^1(K)$ 는 조차 $\alpha$-왼쪽 애매성이 성립하지 않는다.
• 만약 $\pi_K(\{\alpha\}) > 0 $ 이면, $L^1(K)$ 는 여전히 애매성이 성립하지 않을 수 있지만, $\alpha$-왼쪽 애매성이 성립할 수 있다.
• 자비 다항식 하이퍼군 $K = [-1,1]$ 의 경우, $L^1(K)$ 는 $\alpha = \beta = -\frac{1}{2}$ 일 때에만 애매성이 성립하며, 이는 유계 플랑카렐 가중치에 해당한다.
• 컴팩트 $P_*$-하이퍼군 $H_a$ 의 경우, 플랑카렐 측도 $\pi(k) = \frac{1-a}{a^k}$ for $k \geq 1$ 이 $k \to \infty$ 일 때 무한히 증가하므로, $L^1(H_a)$ 는 애매성이 성립하지 않는다.