[논문 리뷰] On the Approximation of Submodular Functions

Nikhil R. Devanur, Shaddin Dughmi외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 하위모듈라 함수를 더 단순한 클래스—예를 들어 방향/비방향 그래프 컷, 커버리지 함수, 예산이 부여된 덧셈 함수—로 근사화하는 방법을 조사하며, 근사 요인에 대해 날카로운 경계를 제공한다. 일반 하위모듈라 함수는 방향 그래프 컷을 통해 $ n^2/4 $의 요인 내에서 근사 가능하며, 이는 정확하다. 대칭 하위모듈라 함수는 비방향 그래프 컷을 통해 $ n-1 $의 요인 내에서 근사 가능하며, 이 역시 상수 요인을 제외하고 정확하다. 예산이 부여된 덧셈 함수는 커버리지 함수를 통해 $ e/(e-1) $의 요인 내에서 근사 가능하며, 이 역시 정확하다.

ABSTRACT

Submodular functions are a fundamental object of study in combinatorial optimization, economics, machine learning, etc. and exhibit a rich combinatorial structure. Many subclasses of submodular functions have also been well studied and these subclasses widely vary in their complexity. Our motivation is to understand the relative complexity of these classes of functions. Towards this, we consider the question of how well can one class of submodular functions be approximated by another (simpler) class of submodular functions. Such approximations naturally allow algorithms designed for the simpler class to be applied to the bigger class of functions. We prove both upper and lower bounds on such approximations. Our main results are: 1. General submodular functions can be approximated by cut functions of directed graphs to a factor of $n^2/4$, which is tight. 2. General symmetric submodular functions$^{1}$ can be approximated by cut functions of undirected graphs to a factor of $n-1$, which is tight up to a constant. 3. Budgeted additive functions can be approximated by coverage functions to a factor of $e/(e-1)$, which is tight. Here $n$ is the size of the ground set on which the submodular function is defined. We also observe that prior works imply that monotone submodular functions can be approximated by coverage functions with a factor between $O(\sqrt{n} \log n)$ and $Ω(n^{1/3} /\log^2 n) $.

연구 동기 및 목표

• 하위모듈라 함수의 부분집합들의 상대적 복잡도를 이해하기 위해, 이들이 얼마나 잘 더 단순한 클래스로 근사 가능한지 분석하는 것.
• 그래프 컷 함수 및 커버리지 함수와 같은 표준화되고 해석 가능한 부분집합 클래스를 사용하여 일반 하위모듈라 함수를 근사화하는 프레임워크를 개발하는 것.
• 핵심 함수 클래스에 대해 근사 요인의 날카로운 상한 및 하한을 확립하여 보다 넓은 알고리즘 적용 가능성을 높이는 것.
• 더 단순한 클래스를 통한 근사가 최적화 문제의 근사 보장을 유지함을 보여주어, 단순한 클래스에 대해 설계된 알고리즘을 더 넓은 함수 클래스에 적용할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 모든 $ S \subseteq U $ 에 대해 $ f(S) \leq g(S) \leq \theta \cdot f(S) $ 를 만족하는 $ g \in \mathcal{G} $ 가 존재하도록 하는 최소 $ \theta $ 를 찾는 것으로 근사 문제를 수식화하는 것.
• 선형 프로그래밍의 이중성 원리를 활용해 근사 요인의 하한을 유도하며, 특히 대칭 하위모듈라 함수의 경우 이중 프로그램을 대칭화하는 것.
• 명시적인 이중 해를 구성하여 하한을 증명하며, 특히 예산이 부여된 덧셈 함수에서 커버리지 함수로의 근사에 대해 $ k \to \infty $ 일 때 $ 1 - 1/e $ 에 수렴하는 한계를 보여주는 것.
• 각 클래스에 대해 상한과 하한을 일치시켜 경계의 날카로움을 증명하며, 조합적 추론과 이항 계수 분석을 포함하는 것.
• 기존 연구 결과를 활용하여 부분적인 경계를 확립하며, 예를 들어 커버리지 함수에 의해 근사되는 단조 하위모듈라 함수에 대해 $ O(\sqrt{n}\log n) $ 와 $ \Omega(n^{1/3}/\log^2 n) $ 의 경계를 얻는 것.
• 그래프 컷에서의 하한을 초그래프 컷으로 확장하여, $ r $-정규 초그래프가 $ O(n/r) $ 보다 더 나은 근사를 할 수 없음을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 하위모듈라 함수는 방향 그래프 컷 함수로 얼마나 잘 근사될 수 있는가?
• RQ2 대칭 하위모듈라 함수는 비방향 그래프 컷 함수로 얼마나 잘 근사될 수 있으며, 이 경계의 날카로움은 어떠한가?
• RQ3 예산이 부여된 덧셈 함수는 커버리지 함수로 얼마나 잘 근사될 수 있는가?
• RQ4 단조 하위모듈라 함수는 커버리지 함수로 잘 근사될 수 있는가? 그리고 이 근사의 날카로운 경계는 무엇인가?
• RQ5 대칭 하위모듈라 함수에 대해 그래프 컷에서 초그래프 컷으로 확장할 경우 근사 요인이 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 모든 $ f(\emptyset) = f(U) = 0 $ 인 일반 하위모듈라 함수는 방향 그래프 컷 함수로 $ n^2/4 $ 의 요인 내에서 근사 가능하며, 이 경계는 정확하다.
• 대칭 하위모듈라 함수는 비방향 그래프 컷 함수로 $ n-1 $ 의 요인 내에서 근사 가능하며, 이는 상수 요인을 제외하고 정확하다.
• 예산이 부여된 덧셈 함수는 커버리지 함수로 $ e/(e-1) $ 의 요인 내에서 근사 가능하며, 이 경계 역시 정확하다.
• 단조 하위모듈라 함수에 대해 이전 연구 결과는 커버리지 함수에 의한 근사 요인을 $ O(\sqrt{n}\log n) $ 와 $ \Omega(n^{1/3}/\log^2 n) $ 사이로 제시하며, 이는 괴리된 간격을 시사한다.
• 예산이 부여된 덧셈 함수에서 커버리지 함수로의 근사에 대한 이중 프로그램 분석은 $ k \to \infty $ 일 때 이중 목표 값이 $ 1 - 1/e $ 에 수렴함을 보여주며, 이는 $ e/(e-1) $ 경계의 날카로움을 확인한다.
• 초그래프 컷 함수는 대칭 하위모듈라 함수를 $ r $-정규 초그래프에 대해 $ O(n/r) $ 보다 더 나은 방식으로 근사할 수 없으며, 이는 그래프 컷에서의 하한을 확장한 것이다.