[논문 리뷰] On the approximation of the values of exponential function and logarithm by algebraic numbers

Yu. V. Nesterenko, Michel Waldschmidt|ArXiv.org|2000. 02. 07.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 대수적 수를 이용한 복소수 $\pi$, $\log 2$, $e$, $e^\beta$의 근사에 대해 효과적인 하한을 확립한다. 주요 결과는 대수적 수 $\alpha$, $\beta$ 및 체 $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$의 높이와 차수에 따라 $|e^\theta - \alpha| + |\theta - \beta|$를 제어하는 일반 부등식을 제공하며, 기본 상수의 명시적 초월도 측도를 이끌어낸다.

ABSTRACT

A sharp explicit estimate is proved for the difference $e^β-α$ when $α$ and $β$ are nonzero algebraic numbers.

연구 동기 및 목표

• 대수적 수 $\alpha$와 $\beta$에 의해 각각 $e^\theta$와 $\theta$를 동시에 근사할 때 효과적인 하한을 유도하는 것.
• 기본 상수인 $\pi$, $\log 2$, $e$, $e^\beta$ ($\beta \neq 0$는 대수적 수)에 대한 명시적 초월도 측도를 확립하는 것.
• 근사자들의 차수와 높이에 따라 지수적 및 로그적 값이 얼마나 가까이 근사될 수 있는지 수량화하는 것.
• 로그 워이 높이와 체의 차수를 기반으로 한 명시적이고 계산 가능한 하한을 제공함으로써 고전적 결과를 초월하는 것.

제안 방법

• 대수적 수 $\alpha$, $\beta$의 절대 로그 워이 높이 $h(\alpha)$, $h(\beta)$ 및 체의 차수 $D = [\mathbb{Q}(\alpha,\beta) : \mathbb{Q}]$를 사용하여 $|e^\theta - \alpha| + |\theta - \beta|$에 대한 일반 하한을 유도한다.
• 로그 선형 형식 이론과 다항식 보간을 적용하여, 그 로그 크기가 상하로 유계인 비영이 대수적 정수 $\mathcal{D}$를 구성한다.
• 최소 다항식의 길이 $L(P)$에 대한 상한과 조합적·해석적 추정을 통해 행렬식 $\mathcal{D}$의 크기를 추정한다.
• 상한과 하한을 비교함으로써 $\log|\mathcal{D}|$에 모순을 일으키며, 이는 $|e^\theta - \alpha| + |\theta - \beta|$가 너무 작을 경우에 주요 부등식을 이끌어낸다.
• 보조 다항식 $q_{\tau t}^{\sigma s}(X,Y)$와 결과식 $R(X,Y)$를 사용하여 행렬식 $\mathcal{D} = R(\beta, \alpha)$를 구성하며, 양호한 근사 가정 하에 영이 아님을 보장한다.
• 주요 부등식을 레마 1을 통해 초월도 측도로 변환하여, 정수 계수 다항식 $P$에 대해 $|P(\theta)|$의 하한과 대수적 수에 의한 근사 간의 관계를 맺는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이와 차수에 대한 제약 조건이 있을 때, 비영이 아닌 $\theta$와 대수적 수 $\alpha, \beta$에 대해 $|e^\theta - \alpha| + |\theta - \beta|$는 얼마나 작아질 수 있는가?
• RQ2 실수 대수적 수 $\xi$의 차수 $d$와 길이 $L$에 대해, $|\pi - \xi|$, $|\log 2 - \xi|$, $|e - \xi|$에 대한 명시적 하한은 무엇인가?
• RQ3 대수적 수에 의한 $e^\theta$와 $\theta$의 근사로부터 $\pi$, $\log 2$, $e$, $e^\beta$에 대한 효과적 초월도 측도를 도출할 수 있는가?
• RQ4 워이 높이 $h(\alpha)$, 차수 $D$, 체 확장 $\mathbb{Q}(\alpha, \beta)$는 지수적 및 로그적 값의 근사 품질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 비영이 아닌 $\theta$에 대해, 합 $|e^\theta - \alpha| + |\theta - \beta|$는 $D$, $\log A$, $\log B$, $\log D$, $\log E$, $|\theta|$에 대한 이중 지수 함수로 하한이 있으며, 명시적인 상수가 존재한다.
• $\pi$에 대해, 근사 오차는 $\xi$가 차수 $d$와 길이 $L \geq 3$인 대수적 수일 경우 다음을 만족한다: $|\pi - \xi| \geq \exp\bigl(-1.2 \cdot 10^6 \cdot d \cdot (\log L + d \log d) \cdot (1 + \log d)\bigr)$.
• $\log 2$에 대해, 하한은 $|\log 2 - \xi| \geq \exp\bigl(-151000 \cdot d^2 \cdot (\log L + d \log d) \cdot (1 + \log d)^{-1}\bigr)$이며, $\pi$보다 $d^2$에 더 강한 의존성을 보인다.
• $e$에 대해, 하한은 $|e - \xi| \geq \exp\bigl(-76000 \cdot d^2 \cdot (\log L + d)\bigr)$이며, $\log 2$와 유사한 $d^2$ 의존성을 보인다.
• $\beta \neq 0$인 대수적 수 $\beta$에 대해 $e^\beta$에 대해, 하한은 $|e^\beta - \alpha| \geq \exp\bigl(-105500 \cdot D^2 \log A \cdot (h(\beta) + \log_+ \log A + \log D + \log E) \cdot (D \log D + \log E) \cdot (\log E)^{-2}\bigr)$이다.
• 대수적 수 $\alpha \neq 1$에 대해 $\log \alpha$에 대해, 하한 $|\beta - \log \alpha| \geq \exp\bigl(-105500 \cdot D^2 \log A \cdot (h(\beta) + \log_+ \log A + \log D + \log E) \cdot (D \log D + \log E) \cdot (\log E)^{-2}\bigr)$이 확립되었으며, 지수적 및 로그적 값에 대한 프레임워크를 완성한다.