[논문 리뷰] On the arithmetic of graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 19.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 세 가지 링 구조—약한, 직접적, 강한 곱—를 사용하여 유한 단순 그래프의 산술을 소개하고 분석한다. 강한 링이 스탠리-라이즈너 카르테시안 링과 호모토피적임을 보여주며, 쿠엔페 공식을 적용 가능하게 하고, 오일러 특성수와 클리크 수가 링 준동형사상임을 확인한다. 또한 연결 라플라스 연산자가 강한 곱에서 텐서곱을 이루며, 스펙트럼 및 코homological 호환성이 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

The Zykov ring of signed finite simple graphs with topological join as addition and compatible multiplication is an integral domain but not a unique factorization domain. We know that because by taking graph complements, it becomes isomorphic to the strong Sabidussi ring with disjoint union as addition. We prove that the Euler characteristic is a ring homomorphism from the strong ring to the integers by demonstrating that the strong ring is homotopic to a Stanley-Reisner Cartesian ring. More generally, the Kuenneth formula holds on the strong ring so that the Poincare polynomial is compatible with the ring structure. The Zykov ring has the clique number as a ring homomorphism. Furthermore, the Cartesian ring has the property that the functor which attaches to a graph the spectrum of its connection Laplacian is multiplicative. The reason is that the connection Laplacians do tensor under multiplication, similarly to what the adjacency matrix does for the weak ring. The strong ring product of two graphs contains both the weak and direct product graphs as subgraphs. The Zykov, Sabidussi or Stanley-Reisner rings are so manifestations of a network arithmetic which has remarkable cohomological properties, dimension and spectral compatibility but where arithmetic questions like the complexity of detecting primes or factoring are not yet studied well. We illustrate the Zykov arithmetic with examples, especially from the subring generated by point graphs which contains spheres, stars or complete bipartite graphs. While things are formulated in the language of graph theory, all constructions generalize to the larger category of finite abstract simplicial complexes.

연구 동기 및 목표

• 약, 직접, 강한 곱이라는 세 가지 다른 링 구조를 사용하여 그래프 산술의 엄밀한 대수적 프레임워크를 수립하기.
• 강한 링이 스탠리-라이즈너 카르테시안 링과 호모토피적임을 보여주어 코homological 및 스펙트럼 호환성을 가능하게 하기.
• 오일러 특성수와 클리프 수가 강한 링과 지크وف 링에서 정수로의 링 준동형사상임을 증명하기.
• 두 그래프의 강한 곱의 연결 라플라스 연산자가 각각의 개별 연결 라플라스 연산자의 텐서곱임을 보여주기.
• 특히 에너지 정리와 포incare 다항식과의 관련성에서 그래프 곱의 스펙트럼 및 코homological 성질을 조사하기.

제안 방법

• 서로소 합을 덧셈으로 사용하는 부호가 있는 유한 단순 그래프의 범주에 대해, 약한(카르테시안), 직접적(텐서), 강한(통합) 곱을 포함한 세 가지 교환 링 구조를 정의한다.
• 그래프의 서로소 합에 대한 모노이드를 그로텐디크 군 구성법을 통해 군으로 확장하여 형식적 뺄셈과 링 구조를 가능하게 한다.
• 지크وف 링을 강한 링으로 이중화하기 위해 그래프의 보완 연산을 적용하고, 두 링 간의 동형사상을 확립한다.
• 강한 곱이 스탠리-라이즈너 곱과 호모토피적임을 보여주어 대수적 위상수학 도구의 적용을 가능하게 한다.
• 쿠엔페 공식을 적용하여 포incare 다항식이 강한 곱에서 곱셈적임을 보여주며 링 호환성을 확인한다.
• 매트리카에서의 계산 코드를 사용하여 강한 곱의 연결 라플라스 연산자가 개별 연결 라플라스 연산자의 텐서곱과 일치함을 검증하고, 에너지가 오일러 특성수와 일치함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프의 강한 링은 스탠리-라이즈너 링과 같은 알려진 대수적 구조와 동형인지?
• RQ2 오일러 특성수는 그래프의 강한 곱에서 링 준동형사상으로 작용하는가?
• RQ3 클리프 수는 지크프 링에서 정수로의 링 준동형사상으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 그래프의 강한 곱에서 연결 라플라스 연산자의 스펙트럼은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 에너지가 연결 라플라스 연산자의 역행렬의 원소 합으로 정의될 때, 이는 강한 곱에서 곱셈적인가?

주요 결과

• 강한 링은 호모토피 동치 아래에서 스탠리-라이즈너 링과 동형이며, 이는 포incare 다항식에 대해 쿠엔페 공식이 성립함을 확인한다.
• 오일러 특성수는 강한 링에서 정수로의 링 준동형사상이며, χ(G × H) = χ(G)χ(H) 및 χ(G + H) = χ(G) + χ(H)를 만족한다.
• 클리프 수는 dim(G) + 1로 정의되며, 지크프 링에서 ℤ로의 링 준동형사상으로서 곱셈적 성질을 유지한다.
• 두 그래프의 강한 곱의 연결 라플라스 연산자는 각각의 개별 연결 라플라스 연산자의 텐서곱과 일치하며, 스펙트럼 호환성이 확인된다.
• 강한 곱의 연결 라플라스 연산자의 스펙트럼은 σ(L(G × H)) = σ(L(G)) × σ(L(H))를 만족하고, 에너지(역행렬 원소의 합)는 오일러 특성수의 곱과 일치한다.
• 강한 곱은 약한 곱과 직접 곱을 모두 부분그래프로 포함하며, 링 구조는 호모토피, 코homology, 스펙트럼 이론과 호환된다.