[논문 리뷰] On the arithmetization of syntax

Stephen Boyce|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 06.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 어떤 해석에서도 아라비아 숫자에 할당된 개체들만을 범위로 삼는 개별 변수를 매개변수화하는 수정된 일阶 산술 체계 S′을 소개한다. 고델의 기법을 응용하여, (∀x)ℛ(x) 형태의 고델 문장을 구성하고 S′의 모순성을 증명함으로써, 표준 일阶 산술 S의 모순성까지 이르게 하여 산술의 형식주의 철학적 기초를 도전한다.

ABSTRACT

It is generally accepted that Godel's proof implies the incompleteness of first-order number theory. This paper shows that the standard demonstration of this result implies that the class of theorems of such systems is not well defined. Proof of the converse of one of the Hilbert-Bernays Derivability Conditions for Godel's second incompleteness theorem essentially yields this result: the theoremhood of a formula is implied if it may be proven in the system that there exists a Godel number of a proof of the formula.

연구 동기 및 목표

• 일阶 산술을 수정하여 변수를 매개변수화할 경우 논리적 모순이 발생하는지 조사하기.
• 표준 일阶 산술(S)의 일관성에 대해 이러한 수정의 영향 평가하기.
• 메타이론에서 잠재적 역설을 드러내어 형식주의 기초의 탄력성 테스트하기.
• 체계가 모순될 경우 표준 산술 해석이 모델이 될 수 없음을 입증하기.
• 형식주의 방법론이 산술 기초 체계에서 역설을 피하는 데 얼마나 적합한지 도전하기.

제안 방법

• 멘델슨의 일阶 수론 S를 수정하여 함수 s′*를 재정의함으로써 개별 변수가 숫자 기호에 할당된 개체들만을 범위로 삼도록 매개변수화하기.
• S의 모든 논리적 공리, 추론 규칙, 적절한 공리 유지하여 S′이 재귀적으로 공리화되고 페아노 산술을 포함하도록 하기.
• 자기참조를 통한 치환과 증명 술어에 기반한 수정된 고델의 산술화 기법을 사용하여 (∀x)ℛ(x) 형태의 고델 문장 구성하기.
• S′의 완전성을 활용하여 (∀x)ℛ(x)가 정리가 아니면, 그것이 거짓이 되는 모델이 존재함을 보이고, 이는 모순으로 이어짐을 보이기.
• 모든 숫자 기호 ḡn에 대해 S′가 ℛ(ḡn)을 증명할 수 있음을 이용하고, 이는 매개변수화 덕분에 모든 모델에서 (∀x)ℛ(x)가 참이 되어야 한다는 점을 활용하기.
• 모순을 유도: S′가 일관적이라면 (∀x)ℛ(x)는 모든 모델에서 참이 되고 따라서 정리여야 하지만, 이는 문장의 구성 방식상 증명 불가능하다는 가정과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 산술에서 변수를 매개변수화하는 체계가 표준 공리와 규칙을 유지하더라도 논리적 모순을 초래할 수 있는가?
• RQ2 S′ 내에서 증명 불가능하지만 반드시 참인 고델 문장의 존재가 체계의 모순성을 의미하는가?
• RQ3 S′가 매개변수화로 인해 모순된다면, 표준 산술 해석은 유효한 모델이 될 수 있는가?
• RQ4 최소한의 수정에도 불구하고 모순을 유도한다면, 형식주의 산술의 메타이론이 역설에서 자유로울 수 있는가?
• RQ5 S′의 모순성은 형식주의적 접근이 고전 수학에 대해 얼마나 적합한지를 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• S′는 매개변수화로 인해 (∀x)ℛ(x)가 모든 모델에서 참이 되어야 하므로 반드시 정리여야 하므로 모순된다.
• 이 구성은 모순을 유도한다: S′가 일관적이라면 (∀x)ℛ(x)는 모든 모델에서 참이 되고 따라서 정리여야 하지만, 이는 그것이 증명 불가능하다는 가정과 모순된다.
• S′의 문법은 표준 일阶 산술 S와 동일하므로, S′의 모순성은 S의 모순성까지 이르게 한다.
• 표준 해석은 S′의 모델이 될 수 없다. 왜냐하면 (∀x)ℛ(x)가 동시에 참이면서 증명 불가능해야 하기 때문이다. 그러나 체계의 매개변수화 조건 하에서는 이것이 불가능하기 때문이다.
• 결과적으로 형식주의 산술의 메타이론은 역설에서 자유롭지 않으며, 이는 형식주의가 기초 체계에서 모순을 피할 수 있다는 주장을 약화시킨다.
• 논문은 형식주의 산술의 기초가 메타이론 내 숨겨진 역설으로 인해 일관성 있고 타당한 고전 수학의 계정을 제공하지 못하므로 실패했다고 결론 내린다.