[논문 리뷰] On the asymptotic behaviour of the fractional Sobolev seminorms in metric measure spaces: Bourgain-Brezis-Mironescu's theorem revisited

Bang-Xian Han, Andrea Pinamonti|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수 스토퍼프 반노름에 대한 보르가인-브레지스-미로네스크 추세 공식을 메트릭 측도 공간으로 일반화하며, 거의 모든 점에서의 탄젠트 공간이 유한차원 바나흐 공간 또는 카르노 군인 조건 하에서 고전적 스토퍼프 반노름으로의 수렴을 확립한다. 주요 기여는 유클리드 공간, 가중 리만다이언 공간, 부분 리만다이언 공간, 그리고 비가속 RCD(K,N) 공간에 대해 유효한 통합된 증명 프레임워크를 제공하는 것으로, 한정된 상수 K_{p,N}의 명시적 규명을 포함한다.

ABSTRACT

We generalize Bourgain-Brezis-Mironescu's asymptotic formula for fractional Sobolev functions, in the setting of abstract metric measure spaces, under the assumption that at almost every point the tangent space in the measured Gromov-Hausdorff sense is a finite dimensional Banach space or a Carnot group. Our result not only covers the known results concerning Euclidean spaces, weighted Riemannian manifolds and finite dimensional Banach spaces, but also extends Bourgain-Brezis-Mironescu's formula to $ cdkn$ spaces and sub-Riemannian manifolds.

연구 동기 및 목표

• 유럽 공간을 초월하여 일반적인 메트릭 측도 공간으로 보르가인-브레지스-미로네스크 분수 스토퍼프 반노름에 대한 점근 공식을 확장하는 것.
• 탄젠트 구조에 대한 최소한의 기하학적 가정 하에서 비국소 반노름이 고전적 스토퍼프 반노름으로 수렴하는 것을 확립하는 것.
• 유럽 공간, 유한차원 바나흐 공간, 가중 리만다이언 다양체, 부분 리만다이언 다양체에 대한 이전 결과들을 하나의 분석적 프레임워크 아래 통합하고 일반화하는 것.
• 다양한 모폴라이저에 대해 공식을 증명하여 비국소 함수기반을 통한 스토퍼프 함수의 새로운 특성화를 가능하게 하는 것.
• 비가속 RCD(K,N) 메트릭 측도 공간으로 BBM 공식의 유효성을 확장하여 리치 곡률이 아래로 유계인 리만다이언 공간을 모델링하는 것.

제안 방법

• 측도가 붙은 곰포-하우스도르프 수렴을 사용하여 탄젠트 콘의 수준에서 분수 반노름의 점근적 행동을 분석한다.
• 부드럽지 않은 라데마처 정리의 판본을 적용하여 메트릭 측도 공간에서 리프시츠 함수의 거의 어디서나 약한 미분 가능성을 보장한다.
• 거리 d(x,y)에만 의존하는 모폴라이저 ρ_n(x,y)의 가족을 사용하며, 차원과 지수 p와 관련된 다항식적 증가를 보인다.
• 정규점 근처의 국소 기하를 근사하기 위해 이중 리프시츠 차트 (φ_δ^i)의 수열을 구성하며, 탄젠트 콘의 등장이 R^N 또는 카르노 군과 등장하는 것을 보장한다.
• 탄젠트 공간이 유일하고 모든 척도에서 근사가 성립하는 정규점의 집합 R_∞를 밀도 기반으로 선택한다.
• 측도 이론적 접근을 통해 차트 근사가 실패하는 예외 집합(예: 𝒩_k)의 측도를 제어하며, 그들의 밀도가 작은 척도에서 사라짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 기하학적 조건에서 메트릭 측도 공간에서 분수 스토퍼프 반노름이 s↑1일 때 고전적 스토퍼프 반노름으로 수렴하는가?
• RQ2 고전적 보르가인-브레지스-미로네스크 공식은 리치 곡률 하한이 있는 부분 리만다이언 다양체와 RCD(K,N) 공간으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 유한차원 탄젠트 콘을 갖는 비유럽 공간에서 점근 공식의 정확한 한계 상수 K_{p,N}는 무엇인가?
• RQ4 다항식적 성장과 반사적 의존성 조건을 만족하는 임의의 모폴라이저로 BBM 공식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 기저 공간의 측도가 붙은 곰포-하우스도르프 수렴 하에서 비국소 반노름이 스토퍼프 반노름으로의 수렴이 안정적인가?

주요 결과

• 점근 공식은 거의 모든 점에서 탄젠트 콘의 유한차원 바나흐 공간 또는 카르노 군인 모든 메트릭 측도 공간에서 성립한다.
• 점근 공식의 한계 상수 K_{p,N}는 명시적으로 규명되었으며, 기하학적 구조에 관계없이 알려진 유클리드 값과 일치한다.
• 결과는 측도가 N차원 하우스도르프 측도인 비가속 RCD(K,N) 공간에 적용되며, 리치 곡률 하한이 있는 공간으로 공식을 확장한다.
• 가정 3.4를 만족하는 넓은 범위의 모폴라이저에 대해 수렴이 성립하며, 이는 스토퍼프 함수의 열린 반응 특성화에 사용되는 열기반 특성화를 포함한다.
• 증명은 국소 차트 근사가 실패하는 예외 집합의 밀도가 작은 척도에서 사라짐을 보여 측도론적 수렴을 보장한다.
• 이 프레임워크는 유클리드 공간, 바나흐 공간, 가중 리만다이언 다양체, 부분 리만다이언 다양체에 대한 이전 결과들을 하나의 분석 원리 아래 통합하고 일반화한다.