[논문 리뷰] On the asymptotic normality of Hill's estimator of the tail index under random censoring

Brahim Brahimi, Djamel Meraghni외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 07.

Statistical Distribution Estimation and Applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경험과정 이론을 사용하여 랜덤 케논 케이스에서 테일 지수에 대한 Hill 추정량의 점근적 정규성을 확립한다. 이는 가우시안 과정을 통한 추정량의 근사화를 포함한다. 본 연구는 이전 연구에서 요구하던 꼬리 행동 및 상위 순서통계량의 선택에 대한 강한 가정을 완화하고, 단지 표준적인 두 번째 차수 조건인 정규화 조건을 유일한 가정으로 삼는다.

ABSTRACT

We make use of the empirical process theory to approximate the adapted Hill estimator, for censored data, in terms of Gaussian processes. Then, we derive its asymptotic normality, only under the usual second-order condition of regular variation. Our methodology allows to relax the assumptions, made in Einmahl, Fils-Villetard and Guillou(2008), on the heavy-tailed distribution functions and the sample fraction of upper order statistics.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 케논이 존재하는 상황에서 Hill 추정량의 점근적 정규성을 확립하는 것.
• 이전 연구에서 사용된 극단가 분포 함수에 대한 강한 가정에 의존도를 줄이는 것.
• 기존에 점근적 정규성에 요구되던 상위 순서통계량의 표본 분율에 대한 제약 조건을 완화하는 것.
• 경험과정 기법을 사용하여 케논 하에서 테일 지수 추정의 더 일반적인 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 경험과정 이론을 사용하여 케논된 데이터에 대한 수정된 Hill 추정량을 근사화하는 것.
• 추정량을 경험과정의 기능으로 표현하여 가우시안 과정 근사화를 가능하게 하는 것.
• 경험과정과 한계 가우시안 과정을 연결하기 위해 약한 수렴 논리를 적용하는 것.
• 유일한 규칙성 가정으로 표준적인 두 번째 차수 조건인 정규화 조건을 사용하는 것.
• 이 조건 하에서 정규화된 추정량의 약한 극한을 분석하여 점근적 정규성을 도출하는 것.
• 추가적인 모멘트 또는 꼬리 행동 가정 없이도 한계 분포가 정규임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 가정 하에서 랜덤 케논 하에서 Hill 추정량의 점근적 정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 기초 분포의 꼬리 행동에 대한 가정을 어느 정도 완화할 수 있는가?
• RQ3 상위 순서통계량의 표본 분율 선택이 점근적 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 경험과정 이론이 케논된 Hill 추정량의 한계 분포를 효과적으로 유도하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 표준적인 두 번째 차수 조건인 정규화 조건이 케논 하에서 점근적 정규성에 충분한가?

주요 결과

• 랜덤 케논 하에서 Hill 추정량의 점근적 정규성은 유일하게 표준적인 두 번째 차수 조건인 정규화 조건 하에서 확립된다.
• 이 방법은 추정량에 대해 엄밀한 가우시안 과정 근사화를 제공하여 약한 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 이전 연구에서 요구하던 극단가 분포 함수에 대한 강한 가정이 제거된다.
• 이전 연구에 비해 상위 순서통계량의 표본 분율을 더 자유롭게 선택할 수 있다.
• 추정량의 한계 분포는 정규이며, 분산 구조는 경험과정 근사화로부터 유도된다.
• 본 결과는 더 일반적이고 현실적인 조건 하에서 케논된 데이터에 대한 Hill 추정량의 이론적 타당성을 확장한다.