[논문 리뷰] On the asymptotic S_n-structure of invariant differential operators on symplectic manifolds

Qingchun Ren, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 다양체 위의 불변 미분 연산자에 대한 점점 커지는 대칭군 $S_{n+1}$ 작용의 점근적 표현론적 구조를 연구한다. 특히 다항미분 연산자에 대한 $S_{n+1}$ 작용에 초점을 맞추며, 차원 $2d$인 다양체에 대해 반사 표현 $rak{h}=bC^n$의 $inom{2d+1}$제곱 텐서곱의 동형성분이 파oisson 다항식에 의해 생성됨을 증명한다. 또한 이러한 성분에 대한 명시적 유리형 생성함수를 제공하며, 분모는 후크 길이와 관련되어 있다.

ABSTRACT

We consider the space of polydifferential operators on n functions on symplectic manifolds invariant under symplectic automorphisms, whose study was initiated by Mathieu in 1995. Permutations of inputs yield an action of S_n, which extends to an action of S_{n+1}. We study this structure viewing n as a parameter, in the sense of Deligne's category. For manifolds of dimension 2d, we show that the isotypic part of this space of <= 2d+1-th tensor powers of the reflection representation h=C^n of S_{n+1} is spanned by Poisson polynomials. We also prove a partial converse, and compute explicitly the isotypic part of <= 4-th tensor powers of the reflection representation. We give generating functions for the isotypic parts corresponding to Young diagrams which only differ in the length of the top row, and prove that they are rational functions whose denominators are related to hook lengths of the diagrams obtained by removing the top row. This also gives such a formula for the same isotypic parts of induced representations from Z/(n+1) to S_{n+1} where n is viewed as a parameter. We apply this to the Poisson and Hochschild homology associated to the singularity C^{2dn}/S_{n+1}. Namely, the Brylinski spectral sequence from the zeroth Poisson homology of the S_{n+1}-invariants of the n-th Weyl algebra of C^{2d} with coefficients in the whole Weyl algebra degenerates in the 2d+1-th tensor power of h, as well as its fourth tensor power. Furthermore, the kernel of this spectral sequence has dimension on the order of 1/n^3 times the dimension of the homology group.

연구 동기 및 목표

• 변수 $n$에 따라 심플렉틱 다양체 위의 불변 다항미분 연산자의 점근적 $S_{n+1}$-표현 구조를 이해하는 것.
• 낮은 높이(최대 $2d+1$)에서 불변 연산자 공간의 동형성분을 파oisson 다항식으로 특성화하는 것.
• 상단 행 길이만 다른 청다이어그램에 대응하는 동형성분에 대한 명시적 생성함수를 계산하며, 분모는 후크 길이와 관련된다.
• 순서 $2m$인 불변 연산자의 차원의 다항식 성장률을 분석하며, 파oisson 다항식 기여와 비파oisson 기여를 분리하는 것.
• 결과를 $bC^{2dn}/S_{n+1}$의 몫 특이점에서의 파oisson 호몰로지와 호흐실트 호몰로지에 적용하여, 낮은 높이의 동형성분에서 동형사상이 성립함을 증명하는 것.

제안 방법

• Deligne의 카테고리 프레임워크를 사용하여 $n$을 매개변수로 간주함으로써 $S_{n+1}$-표현의 점근적 분석을 가능하게 한다.
• 조화 다항식 이론과 $S_{n+1}$의 표현론을 적용하여 반사 표현 $rak{h}$의 텐서곱을 분해한다.
• 편미분과 파oisson 괄호를 포함하는 표현식에 등장하는 계수 $\lambda_i, \mu_i$를 통해 명시적 미분 연산자를 구성한다.
• $S_3$-등변성 구조를 이용하여 순서 $2m$의 연산자에서 대칭 및 반대칭 부분을 분석하고, 차원 공식을 도출한다.
• $\Phi: X_m \to Y_{m-1}$의 사상과 부호 변환을 적용하여 호모로지 사상 간의 관계를 규명하고 $S_3$-표현 분해를 유도한다.
• 상단 행을 제거한 청다이어그램의 후크 길이를 분석하여 동형성분에 대한 유리형 생성함수를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $2d$인 심플렉틱 다양체에 대해, 불변 미분 연산자 공간 내에서 반사 표현 $\frak{h}$의 $\leq 2d+1$제곱 텐서곱의 동형성분의 구조는 무엇인가?
• RQ2 불변 연산자 공간 $\operatorname{Inv}_n(V)_{2m}$의 동형성분 차원은 $n$에 따라 어떻게 성장하며, 다항식 성장의 차수는 무엇인가?
• RQ3 불변 연산자의 맥락에서 $\frak{h}^{\otimes k}$의 동형성분과 파oisson 다항식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 상단 행 길이만 다른 청다이어그램에 대응하는 동형성분에 대한 생성함수는 후크 길이와 관련된 분모를 갖는 유리함수로 표현할 수 있는가?
• RQ5 낮은 높이의 동형성분에서, Brylinski 스펙트럴 시퀀스 동형사상이 $\mathsf{HP}_0$와 $\mathsf{gr}\,\mathsf{HH}_0$ 사이에 얼마나 널리 적용되는가?

주요 결과

• 차원 $2d$인 다양체에 대해, 불변 연산자 공간 내에서 $\leq 2d+1$제곱 텐서곱의 동형성분은 파oisson 다항식에 의해 생성된다.
• 순서 $2m$인 불변 연산자 공간의 차원은 $n$에 대해 정확히 차수 $2m$의 다항식이며, 비파oisson 부분의 차수는 $\leq 2m-3$이다.
• $n \geq m+2$일 때, $\operatorname{Hom}_{S_{n+1}}(\frak{h}^{\otimes 3}, \operatorname{Inv}_n(V)_{2m})$의 차원은 $2m+1$이며, $n = m+1$일 때는 $m$으로 감소하고, $n \geq m+2$일 때는 0이 된다.
• 상단 행 길이만 다른 청다이어그램에 대응하는 동형성분에 대한 생성함수는 분모가 상단 행을 제거한 다이어그램의 후크 길이의 곱인 유리함수이다.
• 전체 사상의 자연스러운 전성사상 $\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{\bbC^{2dn}/S_{n+1}}, \mathcal{O}_{\bbC^{2dn}}) \to \mathsf{gr}\,\mathsf{HH}_0(\mathsf{Weyl}(\bbC^{2dn})^{S_{n+1}}, \mathsf{Weyl}(\bbC^{2dn}))$은 $\frak{h}^{\otimes \leq 2d+1}$의 $\leq 2d+1$제곱 텐서곱 동형성분에 대해 동형사상으로 제한된다.
• 전체 전성사상의 핵의 차원은 호몰로지 군의 차원에 대해 점근적으로 $\sim \frac{1}{n^3}$ 배이다.