[논문 리뷰] On the automorphism group of foliations with geometric transverse structure

Laurent Meersseman, Marcel Nicolau외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 횡방향 구조를 가진 분할의 자기동형군을 조사하며, 일반적인 분할을 보존하는 미분동형군은 합리적인 의미에서 리 군이 아닐 수 있지만, 횡방향 해석적 및 리만 분할의 자기동형군은 강력한 ILH-리 군임을 보여준다. 이 결과는 소볼레프 완비화와 횡방향 등장 또는 해석적 사상의 국소 군 구조를 통해 확립되며, 무한차원 기하학에서 고급 미적분 도구의 사용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Motivated by questions of deformations/moduli in foliation theory, we investigate the structure of some groups of diffeomorphisms preserving a foliation. We give an example of a $C^\infty$ foliation whose diffeomorphism group is not a Lie group in any reasonable sense. On the positive side, we prove that the automorphism group of a transversely holomorphic foliation or a riemannian foliation is a strong ILH Lie goup in the sense of Omori.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 횡방향 구조를 가진 분할에 대한 자기동형군의 구조적 모호성을 해결하고, 특히 그것이 리 군 구조를 갖는지 여부를 밝히는 것.
• 모든 분할을 보존하는 미분동형군이 프레셰 리 군임을 주장한 레슬리의 이전 주장에 격차가 있음을 다루기 위해 반례를 제시하는 것.
• 횡방향 해석적 및 리만 분할의 자기동형군이 강력한 ILH-리 군임을 증명하여, 무한차원에서의 은폐정리 및 프로베누스 정리의 적용을 가능하게 하는 것.
• 해당 자기동형군이 미분동형군에 대해 닫혀 있으며, 제2가산성과 LPSAC 위상 구조를 상속함을 확립하는 것.

제안 방법

• 어떤 합리적인 의미에서 리 군이 되지 않는 $ C^{\infty} $ 분할을 구성하여 기하학적 횡방향 구조의 필요성을 입증하는 것.
• 소볼레프 완비화 $ \mathcal{D}^k $ 와 역극한 구조를 사용하여 자기동형군을 ILH-리 군으로 모델링하는 것.
• 자기동형군 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 를 분할과 그 기하학적 구조를 모두 보존하는 미분동형의 부분군으로 식별하는 것.
• 완비 횡방향에서 국소 등장 또는 해석적 사상이 1차 미분형으로 결정되므로, 유한차원 임bedding과 국소 컴팩트성을 가능하게 하는 사실을 활용하는 것.
• 살렘의 방법을 적용하여 국소 자동형이 홀로노미 편재군과 가환하는 칼링 또는 해석적 벡터장의 흐름으로 유도됨을 보이는 것.
• 곱셈 사상 $ \hat{\Psi} $ 과 압력 사상 $ \hat{\Phi} $ 를 통한 국소 차트를 구성하여, $ \operatorname{Aut}^k(\mathcal{F}) $ 가 힐베르트 다양체임을 증명하고, $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 가 ILH-리 군임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 $ C^\infty $ 분할의 자기동형군은 어떤 합리적인 의미에서 리 군이 될 수 있는가?
• RQ2 횡방향 구조에 어떤 기하학적 조건이 성립할 경우 분할의 자기동형군이 강력한 ILH-리 군이 되는가?
• RQ3 횡방향 해석적 분할의 자기동형군은 강력한 ILH-리 군인가?
• RQ4 리만 분할의 자기동형군은 강력한 ILH-리 군인가?
• RQ5 자기동형군은 홀로노미 가환 벡터장에 의해 단순연결 리 군으로 국소적으로 모델링될 수 있는가?

주요 결과

• 횡방향 해석적 분할의 자기동형군은 Theorem 3.3에서 보여지듯이 강력한 ILH-리 군이며, 리 대수는 $ \mathfrak{aut}(\mathcal{F}) $ 이다.
• 리만 분할의 자기동형군은 $ \mathcal{D}_\mathcal{F} $ 에 대해 닫혀 있으며, Theorem 4.3에서 보여지듯이 강력한 ILH-리 군이며, 리 대수는 $ \mathfrak{aut}(\mathcal{F}) $ 이다.
• 자기동형군 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 는 단순연결 복소 리 군 $ G $ 를 횡방향으로 모델로 하는 리 분할 $ \mathcal{F}_\mathcal{D} $ 를 갖는다.
• 국소 자동형은 홀로노미 편재군과 가환하는 칼링 또는 해석적 벡터장의 흐름으로 식별되며, 국소 컴팩트성과 리 군 구조를 보장한다.
• $ \tilde{\Sigma} $ 는 횡방향에서 1차 미분형의 공간에 임베딩되며, 이는 유한차원이므로 유한차원 기법의 사용이 가능하다.
• $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 의 위상은 제2가산성과 LPSAC이며, 이는 잘 정의된 위상적 구조를 확인한다.