[논문 리뷰] On the autonomous norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the torus

Michael Brandenbursky, Jarek Kędra외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 2차원 토러스 T²의 히르미션 동형사상군에 대한 자율 노름이 유계가 아니라는 것을 증명한다. 이를 위해 자율 노름이 임의로 큰 히르미션 동형사상의 구체적 예를 구성함으로써 이루어진다. 저자들은 브레이드 군 작용을 이용하여 군 위에 준위함수를 정의하고, 그 비자명성과 칼라비 성질을 증명함으로써, 리프시츠 조건에 의해 노름의 무한성과 관련된 결과를 이끌어낸다.

ABSTRACT

We prove that the autonomous norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the two-dimensional torus is unbounded. We provide explicit examples of Hamiltonian diffeomorphisms with arbitrarily large autonomous norm. For the proofs we construct quasimorphisms on $Ham(T^2)$ and some of them are Calabi.

연구 동기 및 목표

• 2차원 토러스 T²의 히르미션 동형사상군에 대한 자율 노름이 유계인지 무한한지 여부에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 자율 동형사상에 대해 유계인 비자명한 준위함수를 Ham(T²) 위에 구성함으로써 자율 노름의 무한성을 이끌어내는 것.
• 브레이드 군 표현과 팰린드롬 단어 조건을 사용하여 Ham(T²) 위에 칼라비 준위함수의 존재를 확립하는 것.
• 자율 노름이 임의로 큰 히르미션 동형사상을 포함하는 구체적 예를 제공하는 것.

제안 방법

• Gambaudo-Ghys 유형의 구성에 의해 순수 브레이드 군 P₂(T²)의 동차 준위함수에서 Ham(T²)의 준위함수로의 선형 사상 구축.
• 토러스 위 두 점의 구성공간의 기본군을 이용하여 자유군 F₂와 연결하고, 단어 경로에서 순환 수의 순차적 차이를 세는 준위함수 ξ를 F₂ 위에 정의.
• 준위함수 ξ가 팰린드롬 단어에서 0이 되므로, 이를 통해 P₂(T²) 위에 잘 정의된 준위함수로의 동차화가 가능함을 증명.
• 해당 준위함수의 Ham(T²) 위로 유도된 준위함수가 비자명하고 칼라비 성질을 가짐을 증명하기 위해, 이가 이동 가능한 볼 위에서 칼라비 준위함수와 일치함을 검증.
• 팰린드롬에서 0이 되는 F₂ 위의 준위함수에서 Ham(T²)의 준위함수로의 복합 사상이 단사임을 증명함으로써 비자명성을 확보.
• 생성집합에 대해 유계인 임의의 준위함수에 대해 자율 노름이 리프시츠 조건을 만족하므로, 이 성질을 사용하여 구성된 준위함수를 적용해 자율 노름의 무한성을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 토러스 T²의 히르미션 동형사상군에 대한 자율 노름은 유계인지 무한한가?
• RQ2 토러스 위 두 점의 구성공간에서의 브레이드 군 작용을 통해 Ham(T²) 위에 비자명한 준위함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이들 준위함수 중 일부는 칼라비 성질을 가지는가? 즉, 심플렉틱 볼에서 칼라비 준위함수와 일치하는가?
• RQ4 자율 노름이 임의로 큰 히르미션 동형사상을 포함하는 구체적 예를 구성할 수 있는가?
• RQ5 순수 브레이드 군에서 Ham(T²)로의 준위함수 구성 사상의 핵에는 유일한 호모모피즘 외에 다른 것이 포함되는가?

주요 결과

• 자율 노름이 임의로 큰 히르미션 동형사상의 구체적 예를 통해 비자명하고 리프시츠 조건을 만족하는 준위함수를 구성함으로써, Ham(T²) 위에서 자율 노름이 무한하다는 것이 증명되었다.
• 자기 흐름 준위함수 ξ를 통해 F₂ 위에서 정의된 준위함수를 이용해 자율 노름이 임의로 큰 히르미션 동형사상의 구체적 예가 존재함을 입증하였다.
• 토러스 평면 위에서 단어 경로의 순환 수 순차적 차이를 세는 준위함수는 무한하며, 팰린드롬에서 0이 되므로 동차화가 가능하다.
• Ham(T²) 위에 유도된 준위함수는 비자명하고 칼라비 성질을 가진다. 이는 이가 이동 가능한 심플렉틱 볼 위에서 칼라비 준위함수와 일치하기 때문이다.
• 팰린드롬에서 0이 되는 F₂ 위의 준위함수에서 Ham(T²)의 준위함수로의 복합 사상은 단사적이며, 이는 구성의 비자명성을 보장한다.
• 자기 흐름 준위함수는 ξ([a,b]^n) = 4n - 1을 만족하므로, 그 동차화가 교환자 [a,b]에서 값 4를 가짐을 확인하여 비자명성을 확인한다.