[논문 리뷰] On the average distribution of primes represented by binary quadratic forms

Jakob Johann Ditchen|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 05.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 음의 기본 판별식의 장구한 범위에서 정부정 이차형식에 의해 표현되는 소수에 대해 Bombieri–Vinogradov 및 Barban–Davenport–Halberstam 유형의 정리들을 수립한다. 이는 대량의 체계에서 최소 소수의 크기를 |q|^{7+ε} 이하로, 대부분의 체계에서 대부분의 판별식에 대해 |q|^{3+ε} 이하로 제한함으로써, 이상적 클래스군 내의 대량 선형 부등식과 특성 합 추정치를 사용한다.

ABSTRACT

We investigate the average distribution of primes represented by positive definite integral binary quadratic forms, the average being taken over negative fundamental discriminants in long ranges. In particular, we prove corresponding results of Bombieri-Vinogradov type and of Barban-Davenport-Halberstam type, although with shorter ranges than in the original theorems for primes in arithmetic progressions: The results imply that, for all $a>0$, the least prime that can be represented by any given positive definite binary quadratic form of discriminant $q$ is smaller than $|q|^{7+a}$ for all forms to "most" discriminants; moreover, it is even smaller than $|q|^{3+a}$ for "most" forms to "most" discriminants.

연구 동기 및 목표

• 산술적 등차수열이 아닌, 이차형식에 의해 표현되는 소수에 대해 Bombieri–Vinogradov 및 Barban–Davenport–Halberstam 정리를 확장한다.
• 음의 기본 판별식의 장구한 범위에서 정부정 정수 계수 이차형식에 의해 표현되는 소수의 평균 분포를 분석한다.
• 판별식과 클래스군 구조에 따라 주어진 형식에 의해 표현되는 최소 소수에 대한 효과적인 상한을 수립한다.
• 이상적 클래스군 내 대량 선형 부등식과 특성 합 추정치를 사용하여, 형식의 종류에 걸쳐 소수 세기 함수의 평균 제곱 및 최대 오차 경계를 도출한다.
• 자연 밀도 가정 하에, 형태 $x^2 + ny^2$ 의 최소 소수에 대한 기존 최고 상한을 정량적으로 개선한다.

제안 방법

• 해석적 수론 기법을 사용하여 이상적 클래스군의 복소 이상적 클래스군 특성에 대한 대량 선형 부등식을 유도한다.
• 판별식 $q \in \mathfrak{F}(Q)$ 에 대해 클래스군 $\mathcal{K}(q)$ 의 모든 형식 종류에 걸쳐 최대 오차 항을 제한함으로써, 매끄러운 Bombieri–Vinogradov 유형 추정치를 적용한다.
• L-함수와 클래스 수 추정치에 기반한 경계를 활용하여, 소수 세기 함수 $\pi(X;q,C)$ 의 오차 항을 실수 및 복소 특성 합 추정치로 통제한다.
• 평균 제곱 오차 경계를 사용하여 판별식과 형식 종류에 걸쳐 평균화함으로써, 일반적인 Barban–Davenport–Halberstam 유형 결과를 수립한다.
• Lindelöf 추측을 조건적 가정으로 사용하여 유효 범위를 확장하고 최소 소수에 대한 경계의 지수를 감소시킨다.
• 이차형식에 대한 Siegel–Walfisz 정리와 로그 없는 제로 밀도 추정치를 적용하여, 표현되는 최소 소수에 대한 조건부 및 무조건적 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 음의 기본 판별식의 장구한 범위에서 정부정 이차형식에 의해 표현되는 소수의 평균 분포는 어떻게 되는가?
• RQ2 Bombieri–Vinogradov 유형 정리는 이차형식의 맥락으로 확장될 수 있으며, 어떤 판별식 범위까지 성립하는가?
• RQ3 판별식 $q$ 를 가진 주어진 이차형식에 의해 표현되는 최소 소수는 $|q|$ 에 대해 어떻게 증가하는가?
• RQ4 최소 소수가 $|q|^{3+\varepsilon}$ 이하인 판별식의 밀도는 얼마인가?
• RQ5 형태 $x^2 + ny^2$ 의 최소 소수가 $y=1$ 일 때 달성된다는 가정을 사용하여, 최소 소수에 대한 평균 상한을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 주어진 정부정 이차형식의 판별식 $q$ 에 대해 표현되는 최소 소수는 ' большин의 판별식' 에 대해 $|q|^{7+\varepsilon}$ 이하로 제한된다.
• ' большин의 형식' 이 ' большин의 판별식' 에 대해 표현되는 최소 소수는 $|q|^{3+\varepsilon}$ 이하로 제한되며, 이는 무조건적 경계의 지수를 향상시킨다.
• Bombieri–Vinogradov 유형 결과 (1.3) 는 $Q^{20/3 + \varepsilon} \leq X(\log X)^{-B}$ 에 대해 성립하며, 오차 항은 $Q^{1/2}X(\log X)^{-A}$ 이하로 제한된다.
• Barban–Davenport–Halberstam 유형 결과 (1.4) 는 $Q^{3 + \varepsilon} \leq X(\log X)^{-2A - 4}$ 에 대해 성립하며, 평균 제곱 오차는 $Q^{1/2}X^2(\log X)^{-A}$ 이하로 제한된다.
• Lindelöf 추측을 가정할 경우, 최소 소수에 대한 경계의 지수는 $7+\varepsilon$ 에서 $2+\varepsilon$ 로, $3+\varepsilon$ 에서 $1+\varepsilon$ 로 각각 감소한다.
• 거의 모든 제곱자유 수 $n$ 에 대해 $y_{\min} = 1$ 이라고 가정할 경우, 형태 $x^2 + ny^2$ 의 최소 소수는 거의 모든 $n$ 에 대해 $p_0(n) \leq n^{2+\varepsilon}$ 를 만족한다.