[논문 리뷰] On the average exponent of CM Elliptic Curves Modulo p

Sungjin Kim|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 수체의 Bombieri-Vinogradov 정리의 유사체를 사용하여, CM 타원곡선의 소수 모듈로 $ p $에 대한 평균 지수 $ e_p $에 대해 개선된 무조건적 오차 항을 확립한다. 논문은 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p = c_E \mathrm{Li}(x^2) + O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $ 를 증명하며, $ c_E $ 는 $ E $ 의 분할체에서의 산술을 통해 정의된다. 이는 이전의 추정치를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over $\Q$ and with complex multiplication by $\mO_K$, the ring of integers in an imaginary quadratic field $K$. It is known that $E(\F_p)$ has a structure E(\F_p)\simeq \Z/d_p\Z \oplus \Z/e_p\Z. with $d_p|e_p$. We give an asymptotic formula for the average order of $e_p$, with improved error term, and upper bound estimate for the average of $d_p$.

연구 동기 및 목표

• 타원곡선 $ E $ 의 군 구조 $ E(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{Z}/d_p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/e_p\mathbb{Z} $ 에서 더 큰 불변량인 $ e_p $ 의 점근 공식에서 무조건적 오차 항을 개선하는 것.
• 수체의 Brun-Titchmarsh 부등식의 유사체를 사용하여 $ d_p $, 즉 군 구조에서 더 작은 불변량의 평균에 대한 상계를 제공하는 것.
• 분할체 $ \mathbb{Q}(E[k]) $ 의 성질과 체론을 활용하여 소수의 분할 행동과 토션 구조를 연결하는 것.
• Freiberg-Kurlberg 와 Wu 의 이전 결과를 초월하여, 특히 CM 타원곡선에 대해 무조건적으로 더 강력한 오차 항을 확보하는 것.
• 평균 $ d_p $ 가 $ x \log \log x $ 이하로 증가함을 입증하여, 기존의 자명한 상한 $ x \log x $ 보다 개선된 결과를 얻는 것.

제안 방법

• 모든 약수에 대해 합을 구할 수 있도록 $ \frac{1}{k} = \sum_{dm|k} \frac{\mu(d)}{m} $ 를 사용하여 $ \frac{p}{d_p} $ 를 약수의 합으로 표현하는 방법.
• Huxley(2002) 의 수체의 Bombieri-Vinogradov 정리의 유사체를 적용하여, $ \mathbb{Q}(E[k]) $ 에서 완전히 분할되는 소수의 수를 세는 데서 오차 항을 통제하는 것.
• 이데알 클래스 모듈로 $ k\mathfrak{f} $ 를 통해 소수 $ p $ 가 $ \mathbb{Q}(E[k]) $ 에서 분할되는 것을 특성화하기 위해 체론을 활용하는 것, 여기서 $ \mathfrak{f} $ 는 계수 이상수이다.
• 수체의 Brun-Titchmarsh 부등식에서 유도된 추정 $ \widetilde{\pi}_E(x;k) \ll \frac{x}{[K(E[k]):K] \log(x/N(k\mathfrak{f}))} $ 를 사용하여 합을 추정하는 것.
• 부분합과 $ n_k = [\mathbb{Q}(E[k]:\mathbb{Q}] $ 에 대한 추정, 특히 $ \phi(k)^2 \ll n_k \ll k^2 $ 을 사용하여 주항등항과 오차항을 통제하는 것.
• Bombieri-Vinogradov 과 Brun-Titchmarsh 정리의 추정을 결합하여 $ k $ 에 대한 합의 오차를 균형 잡고, 절단 매개변수 $ y $ 를 최적화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CM 타원곡선에 대해 $ \mathbb{Q} $ 상에서 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p $ 의 최적의 무조건적 오차 항은 무엇인가?
• RQ2 타원곡선 $ E(\mathbb{F}_p) $ 의 군 구조에서 더 작은 불변량인 $ d_p $ 의 평균 크기는 $ x $ 에 따라 어떻게 증가하는가?
• RQ3 수체의 Bombieri-Vinogradov 정리의 유사체를 사용하여, 이전 결과를 초월하여 $ e_p $ 의 평균에서 오차 항을 개선할 수 있는가?
• RQ4 수체에서의 Brun-Titchmarsh 부등식은 $ \sum d_p $ 에 대한 비자명한 상한을 얻는 데 얼마나 기여하는가?
• RQ5 타원곡선의 계수 $ N $ 이 $ \sum e_p $ 의 점근 공식에서 오차 항에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 무조건적으로 $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} e_p = c_E \mathrm{Li}(x^2) + O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $ 라는 점근 공식을 확립하며, $ c_E = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $ 로 정의된다. 이는 Wu 의 오차 항을 개선한 것이다.
• 오차 항은 $ B > 0 $ 인 모든 $ B $ 에 대해 $ O_{A,B}(x^2 / (\log x)^B) $ 이며, 계수 $ N \leq (\log x)^A $ 라면 성립한다. 이는 이전의 $ O(x^2 / (\log x)^{9/8}) $ 추정보다 크게 향상된 것이다.
• $ \sum_{p \leq x, p \nmid N} d_p \ll_A x \log \log x $ 라는 $ d_p $ 의 평균에 대한 추정이 성립하며, 이는 자명한 상한 $ \ll x \log x $ 보다 더 날카롭다. 이 결과는 수체의 Brun-Titchmarsh 부등식을 사용하여 도출되었다.
• $ \sum e_p $ 의 오차 항 향상은 수체의 Bombieri-Vinogradov 정리의 유사체(특히 Huxley, 정리 1) 를 $ K(E[k]) $ 에서 소수의 분할에 적용함에 따라 결정적으로 이루어진다.
• $ \sum d_p $ 의 추정은 매개변수 $ y $ 에서 합을 분할하여, $ k \leq y $ 에는 Brun-Titchmarsh 부등식을, $ k > y $ 에는 자명한 상한 $ \pi_E(x;k) \ll x/k^2 $ 을 사용함으로써 달성된다. 최적의 선택은 $ y = \sqrt{x/(3N(\mathfrak{f}))} $ 이다.
• 결과적으로 $ d_p $ 의 평균은 느리게 증가하며, 최대 $ x \log \log x $ 의 비율로 증가함을 보여주며, 이는 $ d_p $ 가 일반적으로 작다는 점과 일치하며, CM 타원곡선의 구조에 부합한다.