[논문 리뷰] On the Average Maximal Number of Balls in a Bin Resulting from Throwing r Balls into n Bins T times

Amir Behrouzi-Far, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 19.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 r개의 공을 n개의 바구니에 T번 던질 때, 평균 최대 바구니에 들어가는 공의 수의 渐近적 행동을 조사한다. 힐로노믹 앤투즈와 재귀 관계를 사용하여 평균 초과 적재량이 $ C_{n,r} ackslash sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ 로 증가함을 도출한다. 작은 $ n $ 과 $ r $ 에 대해 $ C_{n,r} $ 의 정확한 재귀식과 추정치를 제공하며, $ n $, $ r $, 및 $ \pi $ 를 포함한 닫힌 형태 표현을 위해 OEIS에 150달러의 기부를 약속한다.

ABSTRACT

We use the holonomic ansatz to estimate the asymptotic behavior, in $T$, of the average maximal number of balls in a bin that is obtained when one throws uniformly at random (without replacement) $r$ balls into $n$ bins, $T$ times. Our approach works, in principle, for any fixed $n$ and $r$. We were able to do the cases $(n,r)$ = $(2,1),(3,1),(4,1), (4,2)$, but things get too complicated for larger values of $n$ and $r$. We are pledging a \$150 donation to the OEIS for an explicit expression, (in terms of $n$, $r$, and $π$) for the constant $C_{n,r}$ such that that average equals $\frac{n}{r}\,T+C_{n,r} \sqrt{T}+O(1/\sqrt{T})$. In this version we announce that the problem has been solved (to the extent possible) by Marcus Michelen.

연구 동기 및 목표

• T번의 던지기 후, 가장 많이 적재된 바구니의 기대 초과 적재량의 渐近적 행동을 규명하는 것.
• 작은 $ n $ 과 $ r $ 에 대해 초과 적재량 $ A(n,r;T) $ 의 정확한 선형 재귀 관계를 도출하여, 매우 큰 $ T $ 에 대해서도 계산이 가능하도록 하는 것.
• $ A(n,r;T) = C_{n,r} \sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ 의 渐近 전개에서 상수 $ C_{n,r} $ 를 추정하고, 수학 공동체가 $ C_{n,r} $ 의 닫힌 형태 표현을 찾도록 도전하는 것.

제안 방법

• 고정된 $ n $ 과 $ r $ 에 대해, $ A(n,r;T) $ 에 대한 다항계수를 가진 선형 재귀 관계를 유도하기 위해 힐로노믹 앤투즈와 Wilf-Zeilberger 알고리즘적 증명 이론을 사용하는 것.
• 다항계수와 대칭 함수의 직접 세기 방법을 통해 $ A(n,r;T) $ 의 초기 값을 계산하는 것.
• 기호 계산을 사용하여 재귀 관계를 피팅한 후, 존재성에 대한 이론적 보장을 통해 사후 검증하는 것.
• 재귀 관계를 활용하여 직접 세기의 비현실적인 계산을 피하고, 매우 큰 $ T $ 에서도 $ A(n,r;T) $ 를 계산하는 것.
• 재귀 해를 스타링의 근사식을 적용하여 渐近 상수 $ C_{n,r} $ 를 추출하는 것.
• 닫힌 형태 표현을 위한 잠재적 길로, $ A(n,r;T) $ 의 경로적 적분 및 다중합 표현을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $ n $ 과 $ r $ 에 대해, $ T \to \infty $ 일 때, 평균 초과 적재량의 기대값이 어떻게 변화하는가?
• RQ2 $ A(n,r;T) $ 에 대해 다항계수를 가진 선형 재귀 관계를 도출할 수 있으며, 이를 사용하여 임의로 큰 $ T $ 에서의 값을 계산할 수 있는가?
• RQ3 점점 커지는 전개식 $ A(n,r;T) = C_{n,r} \sqrt{T} + O(1/\sqrt{T}) $ 에서 상수 $ C_{n,r} $ 의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ4 $ C_{n,r} $ 에 대해 $ n $, $ r $, 및 $ \pi $ 를 포함한 닫힌 형태 표현이 존재하는가?
• RQ5 작은 $ n $ 과 $ r $ 에 대해 히우리스틱 추정치와 수치적으로 계산된 값은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $ (n,r) = (2,1) $ 인 경우, 초기 조건 $ A(1) = 1/2 $, $ A(2) = 1/2 $ 를 가진 재귀식 $ A(T) = \frac{1}{T-1} A(T-1) + A(T-2) $ 가 성립하며, 渐近 상수는 $ C_{2,1} = (2\pi)^{-1/2} \approx 0.398942 $ 이다.
• $ (n,r) = (3,1) $ 인 경우, 제5차 선형 재귀식이 도출되었으며, 이로부터 $ C_{3,1} \approx 0.489 $ 이 도출되었고, 사후 검증을 통해 확인되었다.
• $ (n,r) = (4,1) $ 인 경우, 제9차 선형 재귀식이 계산되어 공개 파일에 저장되었으며, $ C_{4,1} \approx 0.516 $ 이다.
• $ (n,r) = (4,2) $ 인 경우, 제8차 선형 재귀식이 도출되어 $ C_{4,2} \approx 0.59430 $ 이다.
• 저자들은 히우리스틱으로 $ C_{n,r} \approx (r/n) \sqrt{\pi \log n} \log(n/r) $ 를 추정하지만, 작은 $ n $ 과 $ r $ 에서는 정확한 값과 다름을 보인다.
• 닫힌 형태 표현을 위한 $ C_{n,r} $ 에 대해 OEIS에 150달러의 기부를 약속하였으며, $ r=1 $ 에는 50달러, 일반적인 경우에는 100달러를 기부하였으며, Marcus Michelen 과 Brendan McKay 씨의 부분적 진전을 기리기 위해 기부가 이루어졌다.