[논문 리뷰] On the behavior of homogeneous, isotropic and stationary turbulence

Massimo Tessarotto, Claudio Asci|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 07.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 나비에-스토크스 유체의 통계적 거동을 유도하기 위해 역운동론적 이론(IKT)을 사용하여 동질적이고 등방성이며 정적인 난류(HIST)를 조사한다. IKT에 따르면 HIST는 한 점에서의 속도 확률밀도함수(PDF)가 등방성 가우시안이어야만 유일하게 가능함을 증명하며, 주어진 대칭성 조건 하에서 다른 함수 형태가 가능한 바 없이 엄밀한 통계적 기반을 확립한다.

ABSTRACT

The recent development of a statistical model for incompressible Navier-Stokes (NS) fluids based on inverse kinetic theory (IKT, 2004-2008) poses the problem of searching for particular realizations of the theory which may be relevant for extit{the statistical description of turbulence} and in particular for the so-called extit{homogeneous, isotropic}and extit{stationary} turbulence (HIST). Here the problem is set in terms of the $1-$point velocity probability density function (PDF) which determines a complete IKT-statistical model for NS fluids. This raises the interesting question of identifying the statistical assumptions under which a Gaussian PDF can be achieved in such a context. In this paper it is proven that for the IKT statistical model, HIST requires necessarily that $f_{1}$ must be SIED (namely extit{stationary}, extit{isotropic} and extit{% everywhere-defined}). This implies, in turn, that the functional form of the PDF is uniquely prescribed at all times. In particular, it is found that necessarily the PDF must coincide with an isotropic Gaussian distribution. The conclusion is relevant for the investigation of the so-called homogenous, isotropic and stationary turbulence.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 나비에-스토크스 유체에서 동질적이고 등방성이며 정적인 난류(HIST)가 실현될 수 있는 통계 조건을 규명하는 것.
• 역운동론적 이론(IKT)이 HIST를 모델링하는 데서 한 점에서의 속도 PDF에 미치는 역할과 그 의미를 조사하는 것.
• HIST에서 속도 PDF의 형태를 유일하게 규정하는 데 필요한 대칭성과 함수적 제약 조건을 규명하는 것.
• IKT 프레임워크 내에서 HIST 조건 하에서 가우시안 PDF가 유일한 가능한 해인지 여부를 확인하는 것.

제안 방법

• 연구는 비압축성 나비에-스토크스 유체의 완전한 통계 모델을 한 점에서의 속도 PDF인 $ f_1 $에 기반하여 구성하기 위해 역운동론적 이론(IKT)을 적용한다.
• HIST는 PDF $ f_1 $가 정적이고 등방성이며 전역적으로 정의되어 있음을 조건으로 하여 정의되며, 엄격한 대칭 제약 조건을 부과한다.
• 유체 필드와 그 통계적 거동을 모델링하기 위해 은닉 변수 $ \mathbf{\alpha} $와 확률적 평균 $ \langle \cdot \rangle_{\mathbf{\alpha}} $를 사용한 확률적 표현을 사용한다.
• 공간 이동과 회전에 대해 불변이고 시간에 독립적인 조건을 요구함으로써 $ f_1 $의 함수 형태를 도출하며, 이는 유일한 해로 이어진다.
• 측도 이론 및 함수 해석학 도구를 적용하여 PDF가 위상 공간 전역에서 잘 정의되고 적분 가능함을 보장한다.
• PDF가 HIST의 특징적인 모든 공간적 및 시간적 대칭성에 대해 불변이어야 한다는 조건에 기반하여, 유일한 가우시안 형태로 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 IKT 기반의 나비에-스토크스 유체 통계 모델에서 한 점에서의 속도 PDF가 언제 가우시안 분포로 줄어들까?
• RQ2 역운동론적 이론 프레임워크 내에서 동질적이고 등방성이며 정적인 난류(HIST)에 대해 등방성 가우시안 PDF가 유일한 가능한 해일까?
• RQ3 속도 PDF가 HIST로 간주되기 위해 만족해야 할 대칭성은 무엇이며, 이러한 대칭성은 그 함수 형태에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 HIST 조건은 PDF가 정적이고 등방성이며 전역적으로 정의되어 있음을 요구함으로써 완전히 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 IKT 접근법은 HIST에 대해 속도 PDF를 유일하게 규정하는가, 아니면 동일한 대칭성 조건 하에서 다른 함수 형태가 가능한가?

주요 결과

• HIST가 IKT 프레임워크에서 실현되기 위해서는 한 점에서의 속도 PDF $ f_1 $가 SIED(정적, 등방성, 전역 정의)여야 한다.
• SIED 조건 하에서 $ f_1 $의 함수 형태는 모든 시점에서 유일하게 결정되며, 그 형태에 대한 자유도가 전혀 없다.
• 유일한 해로는 등방성 가우시안 분포가 있으며, 이는 이 모델에서 HIST 조건을 만족할 수 있는 다른 PDF 형태가 존재하지 않음을 의미한다.
• 이 결과는 IKT 통계 모델 내에서 HIST가 등방성 분산을 가진 가우시안 속도 분포와 수학적으로 동치임을 시사한다.
• 유도 과정은 HIST의 통계적 기술이 대칭성 제약 조건에 의해 완전히 결정되며, 추가적인 가정이 필요로 하지 않음을 확인한다.
• 결론적으로 이는 HIST에 대해 엄밀한 통계적 기반을 제공하며, 가우시안성은 가정이 아니라 대칭성의 必然한 결과임을 보여준다.