[논문 리뷰] On the Bicriterion Maximum Flow Network Interdiction Problem

Luca E. Schäfer, Stefan Ruzika외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 06.

Bioeconomy and Sustainability Development인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 각 간선에 두 개의 독립적인 용량이 있는 이목적 최대 유량 네트워크 방해 문제(BMFNI)를 제안한다. 여기서 방해자는 두 최대 유량을 동시에 최소화하고자 한다. 저자들은 BMFNI가 NP-완전임을 증명하고, 두 종점 시리즈-패러럴 그래프에 대해 비결정적 다이나믹 프로그래밍 알고리즘을 개발하며, 단위 방해 비용의 경우 완전 다항 시간 근사법(FPTAS)으로 확장하여 파레토 최적 해의 임의 정밀도 근사치를 달성한다.

ABSTRACT

This article focuses on a biobjective extension of the maximum flow network interdiction problem, where each arc in the network is associated with two capacity values. Two maximum flows from a source to a sink are to be computed independently of each other with respect to the first and second capacity function, respectively, while an interdictor aims to minimize the value of both maximum flows by interdicting arcs. We show that this problem is intractable and that the decision problem, which asks whether or not a feasible interdiction strategy is efficient, is NP-complete. We propose a pseudopolynomial time algorithm in the case of two-terminal series-parallel graphs and positive integer-valued interdiction costs. We extend this algorithm to a fully polynomial-time approximation scheme for the case of unit interdiction costs by appropriately partitioning the objective space.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 독립적인 간선 용량을 가진 최대 유량 네트워크 방해 문제의 새로운 이목적 확장의 수학적 정의와 분석.
• BMFNI의 계산 복잡도를 조사하며, 특히 주어진 방해 전략이 효율적인지 여부를 판단하는 문제의 난이도를 규명.
• 두 종점 시리즈-패러럴 그래프에서 BMFNI를 해결하기 위한 다이나믹 프로그래밍 기반 알고리즘 개발.
• 단위 방해 비용의 경우에 대해 완전 다항 시간 근사법(FPTAS)으로 알고리즘을 확장.
• 네트워크 방해 문제에 대한 근사 알고리즘의 격차를 메우기 위해 임의 정밀도를 갖는 근사 체계 제공.

제안 방법

• 두 개의 독립적인 최대 유량 목표와 단일 방해 예산을 갖는 이목적 최적화 문제로 BMFNI를 수식화.
• 두 종점 시리즈-패러럴 그래프의 분해 트리를 활용한 다이나믹 프로그래밍을 통해 지배되지 않는 방해 전략을 계산.
• 해결 품질을 제어하고 진짜 파레토 집합에 대한 (1+ε)-근사치를 확보하기 위해 근사 레이블(Aε(H, x)) 기법을 적용.
• 시리즈 및 패러럴 연산을 통한 하위그래프의 재귀적 조합을 활용하여, 시리즈-패러럴 그래프의 구조를 이용해 효율성을 유지.
• 다이나믹 프로그래밍 과정의 각 단계에서 지배되지 않는 해만 유지하기 위해 레이블 지배성 검사 도입.
• 목표 공간을 적절히 분할하고 흐름 값에 기하학적 반올림을 적용하여, 비결정적 다항 시간 알고리즘을 FPTAS로 확장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BMFNI에서 주어진 방해 전략이 효율적인지 여부를 판단하는 결정 문제는 NP-완전인가?
• RQ2 두 종점 시리즈-패러럴 그래프에서 이목적 최대 유량 네트워크 방해 문제는 비결정적 다항 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ3 단위 방해 비용이 적용된 BMFNI에 대해 완전 다항 시간 근사법(FPTAS)이 존재하는가?
• RQ4 시리즈-패러럴 그래프의 구조는 BMFNI에 대한 효율적인 다이나믹 프로그래밍 알고리즘 설계를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 특정 그래프 클래스에서 BMFNI 문제는 이목적 쓰레기통 문제로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• BMFNI에서 효율적인 방해 전략을 판단하는 결정 문제는, 두 정점과 다수의 평행 간선만을 갖는 그래프에서도 여전히 NP-완전이다.
• 두 종점 시리즈-패러럴 그래프에서 BMFNI는 비결정적 다항 시간 다이나믹 프로그래밍 알고리즘을 갖는다.
• 단위 방해 비용의 경우, 제안된 알고리즘은 파레토 최적 해에 대한 (1+ε)-근사치를 달성하는 완전 다항 시간 근사법(FPTAS)으로 확장 가능하다.
• FPTAS의 실행 시간은 O(m³/ε² log²(mU) log(m/ε log(mU))) + T·O(m³/ε² log²(mU))로 유계이며, 여기서 T는 단일 최대 유량 문제를 해결하는 데 소요되는 시간이다.
• FPTAS는 계산된 모든 해가 진짜 지배되지 않는 해들에 대해 (1+ε) 요인 이내에 있도록 보장하며, 레이블 집합 Aε(H, x)는 근사 오차를 유계로 유지한다.
• 특수한 경우에 문제를 이목적 쓰레기통 문제로 재구성할 수 있어, 기존의 근사 기법을 활용할 수 있다.