[논문 리뷰] On the binomial convolution of arithmetical functions

László Tóth, Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 03.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소인수분해를 통한 다항계수에 기반하여 정의된 산술 함수의 이항 컨볼루션을 도입하고 분석한다. 이는 산술 함수의 대수적 구조가 고전적 디리클레 컨볼루션 대수와 동형임을 증명하며, 새로운 모비우스 유형의 역공식과 다항정리의 곱셈적 버전을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $n=\prod_p p^{ν_p(n)}$ denote the canonical factorization of $n\in \N$. The binomial convolution of arithmetical functions $f$ and $g$ is defined as $(f\circ g)(n)=\sum_{d\mid n} (\prod_p \binom{ν_p(n)}{ν_p(d)}) f(d)g(n/d),$ where $\binom{a}{b}$ is the binomial coefficient. We provide properties of the binomial convolution. We study the $\C$-algebra $({\cal A},+,\circ,\C)$, characterizations of completely multiplicative functions, Selberg multiplicative functions, exponential Dirichlet series, exponential generating functions and a generalized binomial convolution leading to various Möbius-type inversion formulas. Throughout the paper we compare our results with those of the Dirichlet convolution *. Our main result is that $({\cal A},+,\circ,\C)$ is isomorphic to $({\cal A},+,*,\C)$. We also obtain a "multiplicative" version of the multinomial theorem.

연구 동기 및 목표

• 이항 컨볼루션을 통한 산술 함수의 대수적 및 수론적 성질을 조사한다.
• 산술 함수의 맥락에서 이항 컨볼루션과 고전적 디리클레 컨볼루션 간의 대수적 구조와 함수 행동을 비교한다.
• 이항 컨볼루션 하에서 완전 곱셈적 함수 및 세르베르그 곱셈적 함수를 완전히 특성화한다.
• 이항 컨볼루션 프레임워크를 이용하여 새로운 모비우스 유형의 역공식을 개발한다.
• 산술 함수의 맥락에서 다항정리의 곱셈적 유사체를 수립한다.

제안 방법

• 이항 컨볼루션을 $(f \circ g)(n) = \sum_{d|n} \left( \prod_p \binom{\nu_p(n)}{\nu_p(d)} \right) f(d)g(n/d)$ 로 정의하며, 여기서 $\nu_p(n)$ 은 $p$-진 값매김이다.
• 이항 컨볼루션과 디리클레 컨볼루션 사이의 핵심 다리 역할을 하는 함수 $\xi(n) = \prod_p \nu_p(n)!$ 을 도입한다.
• 사슬 $f \mapsto f/\xi$ 가 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ 와 $({\cal A}, +, *, \mathbb{C})$ 사이의 대수 동형사상임을 증명한다.
• 이항 컨볼루션을 디리클레 컨볼루션으로 표현하는 관계 $f \circ g = \xi \cdot (f/\xi * g/\xi)$ 를 유도한다.
• 집합 $X$ 와 사상 $\varphi_n: X \to X$ 에 대한 일반화된 컨볼루션 $f \boxdot \alpha$ 를 도입하여 함수적 모비우스 역공식을 가능하게 한다.
• 이중 급수에서 $f$, $f^{-1\circ}$, 및 $\xi$ 의 절대수렴 조건을 설정하고, 이를 기반으로 역공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술 함수의 맥락에서 이항 컨볼루션은 대수적으로 디리클레 컨볼루션과 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ 가 이항 컨볼루션 하에서 $\mathbb{C}$-대수의 구조는 어떠한가?
• RQ3 이항 컨볼루션에 대해 모비우스 유형의 역공식을 유도할 수 있으며, 어떤 수렴 조건에서 성립하는가?
• RQ4 함수 $\xi(n) = \prod_p \nu_p(n)!$ 이 이항 컨볼루션과 디리클레 컨볼루션을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 산술 함수의 맥락에서 이항 컨볼루션 하에 다항정리의 곱셈적 유사체가 존재하는가?

주요 결과

• $({\cal A}, +, \circ, \mathbb{C})$ 가 이항 컨볼루션 하에서 고전적 디리클레 컨볼루션 대수 $({\cal A}, +, *, \mathbb{C})$ 와 사상 $f \mapsto f/\xi$ 를 통해 동형임을 증명한다.
• 이항 컨볼루션은 완전 곱법성을 유지하며, 완전 곱셈적 함수의 집합은 $\circ$ 에 대해 부분군을 이룬다. 이는 $*$ 와는 다를 수 있다.
• 상수 함수 $I(n) = 1$ 이 이항 컨볼루션 하에서의 역함수는 리우빌 함수 $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ 이며, 이는 디리클레 컨볼루션 하에서의 모비우스 함수와 대비된다.
• 일반화된 모비우스 유형의 역공식을 수립: $\alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{\xi(n)} \beta(\varphi_n(x))$ 이면, 절대수렴 조건 하에서 $\beta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{-1\circ}(n)}{\xi(n)} \alpha(\varphi_n(x))$ 가 성립한다.
• 대칭적인 모비우스 역공식을 도출: $f(n) = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{\xi(m)} g(mn)$ 이고 $\sum n^\varepsilon |g(n)| < \infty$ 이면, $g(n) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{\Omega(m)}}{\xi(m)} f(mn)$ 이며, 그 역도 마찬가지로 성립한다.
• 동형성과 이항 컨볼루션의 구조에 기반하여 다항정리의 곱셈적 유사체를 유도한다.