[논문 리뷰] On the Black's equation for the risk tolerance function

Sigrid Källblad, Thaleia Zariphopoulou|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 21.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 다자산 로그정규 시장 모델에서 블랙의 위험 수용 함수에 대한 방정식을 종합적으로 분석하며, 비선형 변환을 통해 열방정식으로 변환하여 존재성, 유일성, 정규성 및 단조성 성질을 확립한다. 주요 기여는 일반적이고 완전 단조 utility 함수에 대해 S자형 및 볼록성 성질을 갖는 위험 수용의 통합 PDE 프레임워크를 제공함으로써 기존 결과에 대한 더 짧고 직접적인 증명과 새로운 발견을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We analyze a nonlinear equation proposed by F. Black (1968) for the optimal portfolio function in a log-normal model. We cast it in terms of the risk tolerance function and provide, for general utility functions, existence, uniqueness and regularity results, and we also examine various monotonicity, concavity/convexity and S-shape properties. Stronger results are derived for utilities whose inverse marginal belongs to a class of completely monotonic functions.

연구 동기 및 목표

• 다자산 로그정규 모델에서 블랙의 위험 수용 함수에 대한 방정식을 체계적으로 연구하기 위해.
• 위험 수용 PDE의 해에 대한 존재성, 유일성 및 정규성 확립하기 위해.
• 위험 수용 함수의 단조성, 오목/볼록성 및 S자형 성질 조사하기 위해.
• 지역 상대 위험 수용 함수로 결과 확장하고, 완전 단조 역한계 utility 함수를 갖는 유용성 함수에 적용하기 위해.
• 기존 결과에 대한 더 짧고 직접적인 증명 제공 및 새로운 정규성 및 종속성 추정치 유도하기 위해.

제안 방법

• 비선형 변수변환을 통해 비선형 위험 수용 PDE를 열방정식으로 변환: r(H(z,t),t) = Hx(z,t).
• 조화함수 H에 대해 고전적 열방정식 이론—최대원리, 로그오목/오목성 보존, 영집합 성질—적용하기.
• Feynman-Kac 공식과 H"older의 부등식을 사용해 해의 로그볼록성 증명하기.
• Pr\'ekopa-Leindler 부등식을 적용해 열 흐름 하에서 로그오목성 보존 성립 증명하기.
• 역한계 함수 I(x) = ∫[α,β] x^{-y} dμ(y)를 완전 단조 함수로 간주하여 더 강력한 정규성 및 경계 유도하기.
• 이중성 기법을 피하기 위해 r²(x,t)에 대한 반선형 PDE를 직접 이용해 유일성 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위험 수용 함수 r(x,t)가 종료 시점의 위험 수용 R(x)로부터 단조성, 오목성 또는 볼록성을 어떤 조건에서 유추할 수 있는가?
• RQ2 위험 수용 함수 r(x,t)는 시장 위험 프리미엄 |λ|²에 어떻게 의존하며, 이 매개변수에 대해 단조형인가?
• RQ3 r(x,t) 및 그 상대적 대응체 ˜r(x,t) = r(x,t)/x에 대한 정규성 및 도함수 추정치는 무엇인가?
• RQ4 특히 완전 단조 역한계 utility 함수를 갖는 유용성 함수의 어떤 클래스에서 위험 수용 함수가 잘 행동하며, 열방정식 변환을 통해 분석 가능한가?
• RQ5 해 r(x,t)는 S자형 행동을 보이며, R(x)에 대해 어떤 조건에서 이러한 성질이 유지되는가?

주요 결과

• 종료 시점의 위험 수용 R(x)에 대해 약한 조건 하에서 해가 존재하며, 유일하고 매끄럽다(C² in space, C¹ in time).
• 변환 r(H(z,t),t) = Hx(z,t)는 비선형 PDE를 선형 열방정식으로 감소시켜 최대원리 및 로그오목성 보존과 같은 고전적 PDE 도구 활용 가능.
• 종료 시점의 위험 수용 R(x)가 로그볼록이면, 모든 t < T에 대해 r(x,t)는 x에 대해 로그볼록성을 유지한다; R(x)가 로그오목이면 r(x,t) 역시 로그오목성을 유지한다.
• 위험 수용 함수 r(x,t)는 x에 대해 엄격히 증가하고 |λ|²에 대해 엄격히 감소하며, |λ|²에 대한 의존성은 단조롭고 볼록하다.
• 역한계 I(x) = ∫[α,β] x^{-y} dμ(y)를 갖는 유용성 함수에 대해 더 강력한 정규성 및 도함수 경계를 도출하였으며, Hx, Hxx 및 rxxx에 대한 명시적 추정치 포함.
• 기존 연구에서 사용된 방법에 비해 r(x,t)의 단조성 및 오목성에 대한 증명이 크게 단순화되었고, 시간 단조성 및 위험 수용 함수의 S자형 행동에 대한 새로운 결과를 확립하였다.