[논문 리뷰] On the Bloch-Kato conjecture for the Asai L-function

Tobias Berger|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 02.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비앙키 모듈라 형식에 관련된 아사이(Galois 표현)에 대해 릿스의 합동 방법을 확장하여 블로흐-카토 세일머 그룹에 비자명한 원소를 구성한다. 소수 모듈로에서 유도된 표현과 합동인 4차원 갈루아 표현을 구성하고, 직교-심플렉틱 토타 대응을 사용함으로써, 그러한 형식의 존재가 아사이 L함수의 근중앙 임계값의 q-나누어떨어짐을 암시함을 증명한다. 이는 블로흐-카토 추측과 일치한다.

ABSTRACT

Following Ribet's seminal 1976 paper there have been many results employing congruences between stable cuspforms and lifted forms to construct non-split extensions of Galois representations. We show how this strategy can be extended to construct elements in the Bloch-Kato Selmer groups of +/--Asai (or tensor induction) representations associated to Bianchi modular forms. We prove, in particular, how the Galois representation associated to a suitable low weight Siegel modular form produces elements in the Selmer group for exactly the Asai representation (+ or -) that is critical in the sense of Deligne. We further outline a strategy using an orthogonal-symplectic theta correspondence to prove the existence of such a Siegel modular form and explain why we expect this to be governed by the divisibility of the near-central critical value of the Asai L-function, in accordance with the Bloch-Kato conjecture.

연구 동기 및 목표

• 블로흐-카토 추측에 대한 증거를 비앙키 모듈라 형식에 관련된 아사이 L함수에 대해 제시하기 위해.
• 이전에 텐서곱에 사용된 고전적 합동 방법을 텐서 유도 표현인 아사이 표현으로 확장하기 위해.
• 정확한 부호를 가진 아사이 표현에 대해 블로흐-카토 세일머 그룹의 원소를 구성하기 위해.
• 직교-심플렉틱 토타 대응을 사용하여 적절한 시겔 모듈라 형식의 존재를 보장하는 전략을 개략적으로 제시하기 위해.
• 블로흐-카토 추측이 예측하는 바와 같이, 아사이 L함수의 근중앙 임계값의 나누어떨어짐과 세일머 그룹의 비영성 사이의 연관성을 연결하기 위해.

제안 방법

• 체 E_\mathfrak{q} 위에 정의된 4차원 갈루아 표현 \tilde{R}을 구성하여, 이는 스위치를 제외한 자기쌍대성을 가지며, \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)와 소수 \mathfrak{q} 모듈로에서 합동이 되도록 한다.
• \tilde{R}^\vee \cong \tilde{R} \otimes \Psi 라는 투영 조건을 사용하여 복소수 켤레 작용과 표현의 부호 사이의 관계를 규명한다.
• 프로베누스의 호환성 법칙을 적용하여, \rho_\Pi \cong \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi) 이면 \rho_\Pi 가 기약임과 동시에 필요한 합동 조건을 만족해야 한다고 보여준다.
• \mathrm{GO}(3,1)과 \mathrm{GSp}_4 사이의 토타 대응을 사용하여, \Pi(\chi, \pi)에 속하는 자동형식 표현 \Pi 를 \sigma = \pi \boxplus \chi 의 상향으로 표현한다.
• 라illis 내적 공식과 페테르손 노름 계산을 활용하여, 토타 상승의 노름이 임계값 L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi)) 과 관련이 있음을 규명한다.
• 카츠루다의 방법과 시겔 아이젠스타인 급수의 풀백 공식을 활용하여, 토타 상승과 안정형식 사이의 합동을 구성함으로써, \Pi(\chi, \pi)에 속하지 않는 형식의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서곱에 사용된 합동 방법을 비앙키 모듈라 형식의 아사이 표현으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 토타 상승과 합동인 시겔 모듈라 형식의 존재는 아사이 L함수의 근중앙 임계값의 \mathfrak{q}-나누어떨어짐을 암시하는가?
• RQ3 \mathfrak{q} 가 L^{\mathrm{int}}(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi)) 에 나누어떨어지면, 아사이 표현 \mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi) 의 세일머 그룹이 비자명한가?
• RQ4 직교-심플렉틱 토타 대응을 사용하여 필요한 성질을 가진 그러한 시겔 모듈라 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ5 표현 \tilde{R} 의 부호는 세일머 그룹에서 복소수 켤레 작용의 고유공간을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 \mathfrak{q} \mid L^{\mathrm{int}}(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi)) 이면, \mathfrak{q} 가 블로흐-카토 세일머 그룹 H^1_f(\mathbf{Q}, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)(1-k) \otimes E_\mathfrak{q}/\mathcal{O}_\mathfrak{q}) 의 순서를 나누어떨어지게 된다고 증명한다.
• 구성된 갈루아 표현 \tilde{R} 은 \mathfrak{q} 모듈로에서 심플렉틱적임을 보여주며, 이는 세일머 그룹에서 올바른 고유공간을 보장한다.
• H^1_f(K, (\rho_\pi^\vee \otimes \rho_\pi^c) \otimes E_\mathfrak{q}/\mathcal{O}_\mathfrak{q}) 에서의 복소수 켤레 작용은 (-1)^k-고유공간과 일치하며, 이는 \mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi) 의 세일머 그룹과 동형이다.
• 토타 상승의 페테르손 노름이 L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi)) 에 관여함을 보여주며, 이는 형식의 산술적 성질과 임계 L값 사이의 연결 고리를 제공한다.
• \Pi(\chi, \pi) 에 속하지 않는 형식이 토타 상승과 합동임을 보여주는 것은, 블로흐-카토 추측이 요구하는 lin \mathfrak{q}-나누어떨어짐 L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi)) 에 의해 결정됨을 보여준다.
• 논문은 주어진 합동 및 기약성 조건 하에서 \rho_\Pi \cong \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi) 임을 확립하여, 갈루아 표현이 유도로부터 유래됨을 확인한다.