[논문 리뷰] On the boomerang uniformity of (quadratic) permutations over $F_{2^n}$

Sihem Mesnager, Chunming Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ_{2^n}$ 상의 이차 치환에 대한 보머런지 유일성의 새로운 공식화를 제안하며, 이를 두 번째 도함수의 영점과 연결한다. 짝수 차원에서 미분 유일성이 4인 이차 치환에 대해 보머런지 유일성이 또한 4임을 증명함으로써 대칭 암호화에서의 응용과 보머런지 공격에 대한 저항력이 우수한 최적의 S-박스 가족을 수립한다.

ABSTRACT

At Eurocrypt'18, Cid, Huang, Peyrin, Sasaki, and Song introduced a new tool called Boomerang Connectivity Table (BCT) for measuring the resistance of a block cipher against the boomerang attack (which is an important cryptanalysis technique introduced by Wagner in 1999 against block ciphers). Next, Boura and Canteaut introduced an important parameter (related to the BCT) for cryptographic Sboxes called boomerang uniformity. In this context, we present a brief state-of-the-art on the notion of boomerang uniformity of vectorial functions (or Sboxes) and provide new results. More specifically, we present a slightly different (and more convenient) formulation of the boomerang uniformity and show that the row sum and the column sum of the boomerang connectivity table can be expressed in terms of the zeros of the second-order derivative of the permutation or its inverse. Most importantly, we specialize our study of boomerang uniformity to quadratic permutations in even dimension and generalize the previous results on quadratic permutation with optimal BCT (optimal means that the maximal value in the Boomerang Connectivity Table equals the lowest known differential uniformity). As a consequence of our general result, we prove that the boomerang uniformity of the binomial differentially $4$-uniform permutations presented by Bracken, Tan, and Tan equals $4$. This result gives rise to a new family of optimal Sboxes.

연구 동기 및 목표

• 벡터 함수에 대한 보머런지 유일성의 공식화를 보다 정교화하고 단순화하기.
• 보머런지 유일성과 치환의 두 번째 도함수 사이의 관계를 설정하기.
• 기존의 최적의 보머런지 연결 표(BCT)를 가진 이차 치환에 대한 결과를 일반화하기.
• 브랙켄, 탄, 탄이 제안한 이항형으로서 미분 유일성이 4인 치환에 대해 보머런지 유일성이 4임을 증명하기.
• 짝수 차원에서 최적의 보머런지 유일성을 가지는 새로운 이차 치환의 가족을 규명하기.

제안 방법

• 치환의 두 번째 도함수를 사용하여 보머런지 유일성의 재수정된 공식화를 도입하기.
• 보머런지 연결 표(BCT)의 행과 열 합을 $F$ 또는 $F^{-1}$의 두 번째 도함수의 영점으로 표현하기.
• 짝수 차원에서 $ℚ_{2^n}$ 상의 이차 치환을 분석하며, 특히 미분 유일성이 4인 경우에 집중하기.
• 해당 치환에 대해 BCT의 최대값이 미분 유일성에 의해 유계임을 보여줌으로써 보머런지 유일성이 4임을 증명하기.
• 유한체의 대수적 항등식과 성질을 사용하여 특정 조건 하에서 $\mathrm{BCT}_F(a,b) \leq q$임을 보이고, 이로부터 $\beta(F) = q$를 도출하기.
• 일반 결과를 기존의 구축 방식에 적용하여, 예를 들어 $F(x) = x^{2^t+1}$ 및 $F(x) = x^{2^m+2} + \lambda x$와 같은 경우를 검증하고 보머런지 유일성을 확인하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 치환의 보머런지 유일성은 두 번째 도함수를 통해 더 편리하게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 BCT의 행과 열 합은 치환의 두 번째 도함수의 영점과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 짝수 $n$에 대해 $ℚ_{2^n}$ 상의 모든 미분 유일성이 4인 이차 치환은 보머런지 유일성이 4인가?
• RQ4 일반 결과는 최적의 보머런지 유일성을 가지는 새로운 치환의 가족을 구축하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ5 기존에 알려진 구축 방식을 초월하여 최적의 BCT를 가지는 이차 치환의 예가 다수 존재하는가?

주요 결과

• 이차 치환 $F(x) = x^{2^t+1}$의 보머런지 유일성이 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 이고 $\gcd(t,n) = 2$일 때 정확히 4이다.
• $n = 2m$, $m$이 홀수이고 $\lambda$가 $\mathbb{F}_{2^n}^*$에서 차수 3을 가지는 치환 $F(x) = x^{2^m+2} + \lambda x$의 보머런지 유일성은 4이다.
• 일반 결과는 $ℚ_{2^n}$ 상의 모든 이차 치환 중에서 미분 유일성이 4이고 $n$이 짝수인 경우 보머런지 유일성이 4임을 증명한다.
• 추가로 $n=3k$, $k \equiv 2 \pmod{4}$, $3 \nmid k$, $\gcd(n,s)=2$ 조건을 만족하는 $F(x) = \beta x^{2^s+1} + \beta^{2^k} x^{2^{-k}+2^{k+s}}$로 정의된 치환의 가족 또한 보머런지 유일성이 4이다.
• $\mathbb{F}_{2^6}$에서의 수치 실험 결과, $\gcd(n,s)=2$ 이고 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 조건을 만족하는 $F(x) = x^{2^{s+1}+2} + A x + B x^4 + C x^{16}$ 형태의 이차 치환 960개가 최적의 BCT를 가지며 치환임을 확인하였다.
• 이러한 치환의 수는 [4, Proposition 8] 및 [23, Theorem 5.3]에서 알려진 구축 방식을 초월하며, 최적의 S-박스가 풍부하게 존재함을 시사한다.