[논문 리뷰] On the Brezis-Nirenberg type critical problem for nonlinear Choquard equation

Fashun Gao, Minbo Yang|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 29인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 라이즈 잠재력에서 기인하는 비국소항을 가진 비선형 초코르드 방정식에 대한 해의 존재성 및 비존재성 결과를 확립한다. 브레지스-니레버그 형식의 임계 비선형성과 함께, 변분 방법과 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 사용하여, 매개수 λ가 첫 번째 고유값 이하이면서 양수일 때 비자명한 해가 존재함을 증명하고, 엄격한 별형 도메인에서 λ < 0 인 경우 비자명한 해가 존재하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We establish some existence results for the Brezis-Nirenberg type problem of the nonlinear Choquard equation $$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy ight)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λu\4.14mm\mbox{in}\1.14mm Ω, $$ where $Ω$ is a bounded domain of $\mathbb{R}^N$, with Lipschitz boundary, $λ$ is a real parameter, $N\geq3$, $2_μ^{\ast}=(2N-μ)/(N-2)$ is the critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

연구 동기 및 목표

• 비선형 초코르드 방정식에 대한 브레지스-니레버그 형식의 임계 비선형성에 대해 비자명한 해의 존재성을 조사한다.
• 클래식한 브레지스-니레버그 결과를 라이즈 잠재력에 의해 지배되는 비국소 설정으로 확장한다.
• 특히 λ < 0 인 경우에 해의 존재성 및 비존재성에 영향을 미치는 매개수 λ의 역할을 분석한다.
• 보팅 메서드와 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 통해 해의 정규성 및 적분 가능성 성질을 확립한다.
• 비국소 초코르드 방정식에 대한 포호자예프 형식의 항등식을 유도하여, 도메인의 기하 조건 하에서 비존재 결과를 도출한다.

제안 방법

• 소볼레프 공간 $ H_0^1(\bar{\Omega}) $ 에서 관련 에너지 함수를 통해 변분 프레임워크를 적용한다.
• 비국소 항 $ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^*}}{|x-y|^\mu} dy $ 의 정의가 타당해지도록 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 적용한다.
• 하드-리틀우드-소볼레프 부등식에서 유도된 임계 지수 $ 2_{\mu}^* = \frac{2N - \mu}{N - 2} $ 를 사용하여 비선형성을 정의한다.
• 집중-콤팩트성 원리와 마운틴 팠 렘마를 적용하여 $ \lambda \in (0, \lambda_1) $ 인 경우 비자명한 해의 존재성을 증명한다.
• 이탈리아 적분과 벡터장의 논리를 통해 통합을 통해 포호자예프 형식의 항등식을 도출하여 해의 구조를 분석한다.
• 포호자예프 항등식을 사용하여, $ \lambda < 0 $ 이고 $ \Omega $ 가 원점에 대해 엄격하게 별형일 경우 비자명한 해가 존재하지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 초코르드 방정식의 브레지스-니레버그 형식 문제에서 비자명한 해가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 초코르드 비선형성의 비국소성은 국소 임계 지수 경우와 비교해 해의 존재성 및 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 매개수 $ \lambda $ 는 해의 존재성 또는 비존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 비음수 $ \lambda $ 에 대해 별형 도메인에서 해를 배제하기 위해 포호자예프 형식의 항등식을 도출하고 적용할 수 있는가?
• RQ5 특히 엄격한 별형성 조건을 만족하는 도메인 $ \Omega $ 의 기하학적 성질은 문제의 해법 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $ N \geq 3 $, $ \lambda \in (0, \lambda_1) $, $ \Omega $ 가 유계 리프시츠 도메인일 경우 문제는 비자명한 해를 가진다.
• $ \lambda < 0 $ 이고 $ \Omega $ 가 원점에 대해 엄격하게 별형일 경우 비자명한 해가 존재하지 않는다.
• 임계 지수 $ 2_{\mu}^* = \frac{2N - \mu}{N - 2} $ 는 하디-리틀우드-소볼레프 부등식에서 자연스럽게 유도되며 비선형성을 지배한다.
• 해는 모든 $ p \geq 1 $ 에 대해 $ W_{\text{loc}}^{2,p}(\Omega) $ 에 속하며, 보팅 메서드를 통해 증명된다.
• 포호자예프 항등식은 $ \int_{\partial\Omega} (x \cdot \nu) |\nabla u|^2 ds = 2\lambda \int_\Omega |u|^2 dx 를 유도하며, 이는 $ \lambda < 0 $ 인 경우 모순을 초래한다.
• 비국소 항 $ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^*}}{|x-y|^\mu} dy $ 는 $ L^\infty(\Omega) $ 에 유계이므로 우변의 정규성 보장된다.