[논문 리뷰] On the Cahn-Hilliard-Brinkman system

Stefano Bosia, Monica Conti외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 25.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 이성분 유체가 다공성 매질 내에서 상분리를 모델링하는 Cahn-Hilliard-Brinkman (CHB) 시스템의 정의가 잘 되어 있음을 입증하며, 약한 해의 전역 존재성과 유일성, 전역 초구의 존재, Łojasiewicz-Simon 부등식에 의한 평형 상태로의 궤도 수렴, 그리고 두 차원에서 점성 ν → 0일 때 CHB 해가 Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS) 시스템으로 수렴함을 보이며 H¹ 노름에서 명시적인 오차 추정을 제공한다.

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for phase separation of an isothermal incompressible binary fluid in a Brinkman porous medium. The coupled system consists of a convective Cahn-Hilliard equation for the phase field $ϕ$, i.e., the difference of the (relative) concentrations of the two phases, coupled with a modified Darcy equation proposed by H.C. Brinkman in 1947 for the fluid velocity $\mathbf{u}$. This equation incorporates a diffuse interface surface force proportional to $ϕ abla μ$, where $μ$ is the so-called chemical potential. We analyze the well-posedness of the resulting Cahn-Hilliard-Brinkman (CHB) system for $(ϕ,\mathbf{u})$. Then we establish the existence of a global attractor and the convergence of a given (weak) solution to a single equilibrium via Łojasiewicz-Simon inequality. Furthermore, we study the behavior of the solutions as the viscosity goes to zero, that is, when the CHB system approaches the Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS) system. We first prove the existence of a weak solution to the CHHS system as limit of CHB solutions. Then, in dimension two, we estimate the difference of the solutions to CHB and CHHS systems in terms of the viscosity constant appearing in CHB.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역에서 슬립 조건 및 노이만 경계 조건을 갖는 Cahn-Hilliard-Brinkman (CHB) 시스템에 대해 약한 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• CHB 시스템에 대해 전역 초구의 존재성을 증명하여 장기적으로 소산적인 행동를 보임을 나타내는 것.
• 모든 약한 해가 Łojasiewicz-Simon 부등식을 이용해 명시적인 수렴 속도를 갖는 단일 평형 상태로 수렴함을 보이는 것.
• 점성 ν → 0일 때 CHB 해의 극한을 분석하여 CHB 해가 Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS) 시스템의 약한 해로 수렴함을 증명하는 것.
• 두 차원에서 CHB 및 CHHS 시스템의 강한 해 간의 차이에 대해 H¹ 노름에서 명시적인 오차 추정을 유도하여 수렴 속도가 ν^{1/2}임을 보이는 것.

제안 방법

• 상태장 φ에 대한 대류가 포함된 Cahn-Hilliard 방정식과 속도 u에 대한 수정된 Brinkman 방정식으로 이루어진 연립 시스템으로서, CHB 시스템을 형식적으로 유도하며, 표면력은 φ∇μ에 비례하는 분산 인터페이스 힘을 포함한다.
• 변분 형태 및 갈레르킨 근사법을 사용하여 φ와 u에 대해 H¹(Ω) × H¹₀(Ω) 공간에서 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 에너지 추정 및 H²(Ω)와 H¹(Ω)에서의 사전 추정을 적용하여 고차원 노름을 통제하고 일관된 유계성을 확보한다.
• 궤도가 평형 상태로 수렴함을 보이기 위해 Łojasiewicz-Simon 부등식을 적용한다.
• 콤���성 및 약한 수렴 추론을 사용하여 ν → 0로의 극한을 취하고 CHHS 시스템의 약한 해 존재성을 증명한다.
• Gronwall의 보조정리와 일관된 유계성을 통해 CHB와 CHHS 해의 차이에 대한 L²(0,T;H¹) 추정을 유도하며, H¹ 노름에서 ν^{1/2} 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 초기 및 경계 조건에 대해 Cahn-Hilliard-Brinkman 시스템이 유일한 전역 약한 해를 갖는가?
• RQ2 CHB 시스템은 단위 공간에서 전역 초구를 갖는가? 이는 장기적으로 소산적인 역학을 나타낸다.
• RQ3 CHB 시스템의 각 약한 해가 t → ∞일 때 단일 평형 상태로 수렴하는가?
• RQ4 점성 ν가 0으로 수렴할 때 CHB 해의 행동은 어떻게 되며, 시스템은 Cahn-Hilliard-Hele-Shaw 시스템으로 수렴하는가?
• RQ5 CHB 및 CHHS 시스템의 강한 해 간의 차이를 ν에 대해 추정할 수 있으며, 수렴 속도는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 T > 0에 대해 (φ, u) ∈ L∞(0,T;H¹) ∩ L²(0,T;H²) × L²(0,T;H¹₀)에서 CHB 시스템은 전역 약한 해를 갖으며, 초기 자료에 대해 연속적인 의존성을 보인다.
• CHB 시스템은 H¹ × H¹₀ 단위 공간에서 전역 초구를 갖는다. 이는 모든 궤도가 결국 유계 흡수 집합에 들어가서 그 안에 머무름을 의미한다.
• CHB 시스템의 각 약한 해는 t → ∞일 때 단일 평형 상태로 수렴하며, 수렴 속도는 Łojasiewicz-Simon 부등식에 의해 제어된다.
• ν → 0일 때 CHB 시스템은 CHHS 시스템으로 수렴하며, CHHS 시스템의 전역 약한 해는 CHB 해의 극한으로 존재한다.
• 두 차원에서 CHB 및 CHHS 시스템의 강한 해 간의 차이는 ‖φν − φ‖₁² ≤ C_T(‖φ₀^ν − φ₀‖₁² e^{C_T} + ν^{1/2})로 추정되며, 이는 H¹ 노름에서 ν^{1/2} 수렴 속도를 의미한다.
• CHHS 시스템과 관련된 준거군의 강한 연속성이 확보되지 않아 H² 노름에서의 수렴은 확립되지 않았다.