[논문 리뷰] On the Canonical Structure of the De Donder-Weyl Covariant Hamiltonian Formulation of Field Theory I. Graded Poisson brackets and equations of motion

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|1993. 12. 20.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 8인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 단일 코ariant De Donder-Weyl (DW) 해밀턴 장 이론에 대해 계급화된 파울슨 괄호 형식을 개발한다. 이는 고전적 파울슨 괄호를 유한차원 위상공간 위의 미분형식으로 일반화한 것으로, DW 해밀턴 방정식이 이러한 괄호를 통해 표현될 수 있음을 보이며, 해밀턴 형식의 공간이 게르스텐하버 대수를 이룬다는 것을 입증한다. 이는 코ariant 장 양자화를 향한 기초 단계를 제공한다.

ABSTRACT

The analogue of the Poisson bracket for the De Donder-Weyl (DW) Hamiltonian formulation of field theory is proposed. We start from the Hamilton- Poincaré-Cartan (HPC) form of the multidimensional variational calculus and define the bracket on the differential forms over the space-time (=horizontal forms). This bracket is related to the Schouten-Nijenhuis bracket of the multivector fields which are associated with the horizontal forms by means of the "polysymplectic form". The latter is given by the HPC form and generalizes the symplectic form to field theory. We point out that the algebra of forms with respect to our Poisson bracket and the exterior product has the structure of the Gerstenhaber graded algebra. It is shown that the Poisson bracket with the DW Hamiltonian function generates the exterior differential thus leading to the bracket representation of the DW Hamiltonian field equations. Few illustrative examples are also presented.

연구 동기 및 목표

• 장 이론의 유한차원, 명백한 코Variant인 De Donder-Weyl 해밀턴 형식화에 대해 파울슨 괄호 개념을 일반화하기 위해.
• 특히, 해밀턴 형식의 공간 위에 일관된 대수적 구조—구체적으로 게르스텐하버 계급 대수—를 확립하기 위해.
• 다양한 차수의 미분형식과 다중벡터장에 관여하는 일반화된 파울슨 괄호를 사용하여 DW 해밀턴 장 방정식을 표현하기 위해.
• DW 형식화와 전통적인 등시 간격 파울슨 괄호 형식화 사이의 관계를 명확히 하기 위해.
• 이 유한차원, 코Variant인 캐논ical 프레임워크를 기반으로 한 미래의 양자화 절차를 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 다차원 변분법의 포앙카레-카르탕 형식에서 형식화가 시작되며, 이는 코Variant한 심플렉틱 형식의 일반화로 작용하는 다중심플렉틱 (n+1)-형식을 정의한다.
• 역학적 변수들은 다양한 차수의 미분형식으로 일반화되며, 해밀턴 벡터장은 다중벡터장으로 대체되며, 일반화된 파울슨 괄호를 정의하기 위해 쇼텐-니젠하이즈 괄호가 사용된다.
• 다른 차수의 형식 간에 괄호 연산이 정의되며, 형식과 n-형식 $ H\widetilde{\text{vol}} $ 사이의 파울슨 괄호는 그 외부 미분을 생성함으로써 운동 방정식을 유도한다.
• 해밀턴 형식의 공간은 외부 곱과 일반화된 파울슨 괄호를 지니며, 대수적 닫힘성과 계급화된 자코비 항등식을 통해 게르스텐하버 대수가 됨을 증명한다.
• 기본적인 장 이론 모델에 이 형식을 적용하여 그 역학적 성격과 기존 결과와의 일관성을 시각화한다.
• 공간적 초면에 제한함으로써 전통적인 순순간 해밀턴 형식화와의 연결을 분석하며, 그 한계에서 등시 간격 파울슨 괄호와의 일치를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전통적인 파울슨 괄호 개념은 어떻게 장 이론에서 명백한 시공간 코Variant성을 유지하면서 일반화될 수 있는가?
• RQ2 De Donder-Weyl 형식화에서 해밀턴 형식의 공간에 기반한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 DW 해밀턴 장 방정식은 일반화된 파울슨 괄호를 사용하여 미분형식의 형태로 재구성될 수 있는가?
• RQ4 제안된 괄호 형식화는 전통적인 등시 간격 파울슨 괄호와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 형식화를 기반으로 한 미래의 코Variant 장 양자화를 위한 기하학적 및 대수적 기초는 무엇인가?

주요 결과

• 다른 차수의 형식 간에 정의된, 관련 다중벡터장의 쇼텐-니젠하이즈 괄호를 통한 일반화된 파울슨 괄호는 파울슨 괄호의 일관된 코Variant 확장이다.
• 외부 곱과 일반화된 파울슨 괄호를 지닌 해밀턴 형식의 공간은 게르스텐하버 계급 대수를 이룬다. 이는 향후 양자화를 위한 핵심 대수적 구조이다.
• 어떤 해밀턴 형식이든 n-형식 $ H\widetilde{\text{vol}} $ 과의 파울슨 괄호는 그 외부 미분을 생성하며, 이는 결과적으로 괄호 형태로 DW 해밀턴 장 방정식을 재현한다.
• 형식은 공간적 초면 $ \Sigma $ 에 제한된 경우 기존의 등시 간격 파울슨 괄호를 재현하며, 기존 장 이론과의 일관성을 입증한다.
• DW 형식화의 대수적 구조는 BRST 및 안티괄호 형식화와 깊은 유사성을 보이며, 이는 BRST 대칭이 장 이론에서 기하학적 기원을 가질 수 있음을 시사한다.
• 이 프레임워크는 기존의 모델—예를 들어 고전적 장 이론과 보존 스크링—과 일관되며, 무한차원 순순간 위상공간 접근법에 대한 끝없는 차원의, 코Variant한 대안을 제공한다.