[논문 리뷰] On the Capacity of Secure Distributed Matrix Multiplication

Wei-Ting Chang, Ravi Tandon|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 01.

Cryptography and Data Security참고 문헌 12인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 모델에서 정보이론적 안전성 확보된 분산 행렬 곱셈을 연구한다: 일방적 모델(행렬 B는 공개이고 A는 비밀)과 완전히 안전한 모델(행렬 A와 B 모두 비밀). 일방적 모델에 대해서는 시크릿 샤링 기반의 방법을 제안하여 용량 (N−ℓ)/N를 달성하고, 완전히 안전한 모델에 대해서는 새로운 코드 기반의 방법과 정렬된 시크릿 샤링을 도입하여 이전의 경계를 초월하는 통신 효율성을 확보한다.

ABSTRACT

Matrix multiplication is one of the key operations in various engineering applications. Outsourcing large-scale matrix multiplication tasks to multiple distributed servers or cloud is desirable to speed up computation. However, security becomes an issue when these servers are untrustworthy. In this paper, we study the problem of secure distributed matrix multiplication from distributed untrustworthy servers. This problem falls in the category of secure function computation and has received significant attention in the cryptography community. However, the fundamental limits of information-theoretically secure matrix multiplication remain an open problem. We focus on information-theoretically secure distributed matrix multiplication with the goal of characterizing the minimum communication overhead. The capacity of secure matrix multiplication is defined as the maximum possible ratio of the desired information and the total communication received from $N$ distributed servers. In particular, we study the following two models where we want to multiply two matrices $A\in\mathbb{F}^{m imes n}$ and $B\in\mathbb{F}^{n imes p}$: $(a)$ one-sided secure matrix multiplication with $\ell$ colluding servers, in which $B$ is a public matrix available at all servers and $A$ is a private matrix. $(b)$ fully secure matrix multiplication with $\ell$ colluding servers, in which both $A$ and $B$ are private matrices. The goal is to securely multiply $A$ and $B$ when any $\ell$ servers can collude. For model $(a)$, we characterize the capacity as $C_{ ext{one-sided}}^{(\ell)}=(N-\ell)/N$ by providing a secure matrix multiplication scheme and a matching converse. For model $(b)$, we propose a novel scheme that lower bounds the capacity, i.e., $C_{ ext{fully}}^{(\ell)}\geq (\lceil \sqrt{N}-\ell ceil)^2/(\lceil \sqrt{N}-\ell ceil+\ell)^2$.

연구 동기 및 목표

• 신뢰할 수 없는 서버 환경에서 정보이론적 안전성 확보된 분산 행렬 곱셈의 기본 한계를 규명하기.
• 모든 ℓ개의 공모하는 서버가 비밀 행렬 A와 B에 대해 아무 정보도 알 수 없도록 하면서 통신 오버헤드를 최소화하는 문제를 다루기.
• 일방적 및 완전히 안전한 행렬 곱셈 모델 모두에서 높은 통신 효율성(비율)을 달성하는 방법 개발하기.
• 완전히 안전한 환경에서의 중복된 통신을 줄이기 위해 정렬된 시크릿 샤링을 도입하여 기존 방법을 향상시키기.
• 일방적 모델에 대해 역방향 증명을 수립하여 제안된 방법이 최적임을 증명하기.

제안 방법

• 일방적 모델에서는 샤미어의 시크릿 샤링을 사용하여 행렬 A를 N개의 서버에 분산 배포하는 방식으로 인코딩하며, B는 공개로 제공된다.
• 각 서버는 자신의 A에 대한 샤링과 공개된 행렬 B를 이용해 선형 조합을 계산하여, 단일 서버가 A를 재구성할 수 없도록 한다.
• 사용자는 모든 N개의 서버로부터 응답을 수신하고 다항식 보간을 통해 AB를 복구한다. 이 과정에서 어떤 ℓ개의 공모하는 서버도 A에 대해 정보를 확보할 수 없다.
• 완전히 안전한 모델에서는 A와 B를 부분행렬으로 분할하고, 적절히 선택된 차수를 가진 다항식 인코딩을 사용하여 불필요한 항을 정렬한다.
• 인코딩 과정은 다항식 평가에서 유일하게 필요한 곱셈 항 A_j B_j'만 서로 다른 차수의 계수로 나타나도록 보장한다.
• 정렬된 시크릿 샤링은 서로 다른 항들(예: A_j B_j', A_j K_B, K_A B_j', K_A K_B)에 서로 다른 차수를 할당하여, 다항식 보간을 통해 오직 필요한 항들만 복구 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 ℓ개의 서버가 공모할 수 있는 상황에서 일방적 안전 분산 행렬 곱셈의 최대 달성 가능한 비율(용량)은 얼마인가?
• RQ2 제안된 방법이 일방적 모델에서 최적임을 보여주는 역방향 증명을 수립할 수 있는가?
• RQ3 ℓ개의 공모하는 서버가 존재할 때 완전히 안전한 분산 행렬 곱셈의 최고 비율은 얼마인가?
• RQ4 인코딩 과정에서 불필요한 항들을 정렬함으로써 완전히 안전한 모델에서 통신 오버헤드를 줄일 수 있는가?
• RQ5 완전히 안전한 모델에서 달성 가능한 비율과 이론적 상한 사이에 갭이 존재하는가?

주요 결과

• 일방적 안전 행렬 곱셈 모델에서 용량은 정확히 (N−ℓ)/N이며, 이는 샤미어의 시크릿 샤링 기반의 방법과 일치하는 정보이론적 역방향 증명을 통해 달성된다.
• 제안된 일방적 모델의 방법은 정보이론적으로 안전하며, 임의의 ℓ개의 공모하는 서버의 시야에 대한 공동 엔트로피가 0임을 증명함으로써 입증된다.
• 완전히 안전한 모델에서는 최소 (⌈√N−ℓ⌉)² / (⌈√N−ℓ⌉+ℓ)² 의 비율을 달성하며, 이는 이전의 방법보다 향상된 성능이다.
• N=8, ℓ=0 인 예시에서는 정렬된 시크릿 샤링 기법이 무작위 행렬에 의한 간섭을 줄여 비율을 4/9에서 1/2으로 높인다.
• 정렬된 시크릿 샤링을 통한 성능 향상은 불필요한 항의 구조적 정렬이 통신 오버헤드를 크게 줄일 수 있음을 시사한다.
• 완전히 안전한 모델에 대한 역방향(상한) 유도 문제는 여전히 열려 있으며, 향후 연구의 잠재적 방향으로 제시된다.