[논문 리뷰] On the Cauchy problem for two dimensional incompressible viscoelastic flows

Xianpeng Hu, Fanghua Lin|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 14.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대규모 초기 자료를 가진 2차원 비압축성 올드로이드 점성유체 모델에 대해 시간에 대해 전역적인 레일리-호프 유형 약한 해의 존재를 확립한다. 유동 지도 변형으로 인한 에너지 농축을 방지하고, 효과적 점성 유량을 통해 진동을 제어하기 위해, 저자들은 코시-그린 텐서 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 의 공간-시간 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-노름에 대한 새로운 사전 추정치를 도입함으로써, 이 양자화된 비선형 편미분 방정식계에 대해 디펜라-리온스의 컴팩트니스 추론을 확장한다.

ABSTRACT

We study the large-data Cauchy problem for two dimensional Oldroyd model of incompressible viscoelastic fluids. We prove the global-in-time existence of the Leray-Hopf type weak solutions in the physical energy space. Our method relies on a new $ extit{a priori}$ estimate on the space-time norm in $L^{\f32}_{loc}$ of the Cauchy-Green strain tensor $τ=\F\F^ op$, or equivalently the $L^3_{loc}$ norm of the Jacobian of the flow map $\F$. It allows us to rule out possible concentrations of the energy due to deformations associated with the flow maps. Following the general compactness arguments due to DiPerna and Lions (\cite{DL}, \cite{FNP}, \cite{PL}), and using the so-called extit{effective viscous flux}, $\mathcal{G}$, which was introduced in our previous work \cite{HL}, we are able to control the possible oscillations of deformation gradients as well.

연구 동기 및 목표

• 대규모 초기 자료를 가진 2차원 비압축성 올드로이드 점성유체 모델에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해의 존재를 확립하는 것.
• 유동 지도 변형으로 인한 에너지 농축 문제를 극복하는 것.
• 디펜라-리온스 이론을 이 결합된 쌍곡-타원형 시스템에 확장하기 위해, 효과적 점성 유량 $ \mathcal{G} $ 를 사용하여 변형 기울기의 가능한 진동을 제어하는 것.
• 에너지 농축을 제어하고 컴팩트니스를 보장하기 위해, 코시-그린 변형 텐서 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 의 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-노름에 대한 새로운 사전 추정치를 유도하는 것.

제안 방법

• 유동 지도의 자코비안 $ \mathbf{F} $ 의 $ L^3_{\text{loc}} $-노름과 등가인, 코시-그린 텐서 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 의 공간-시간 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-노름에 대한 새로운 사전 추정치를 도입하여, 변형으로 인한 에너지 농축을 방지하는 것.
• 이전 연구에서 도입된 효과적 점성 유량 $ \mathcal{G} $ 를 적용하여 변형 기울기 $ \mathbf{F} $ 의 진동을 제어하고, 약한 해 구성에서 컴팩트니스를 확보하는 것.
• 변형 텐서에 대한 구조적 추정치를 유도하기 위해, $ \text{div}\, \mathbf{F}^T = 0 $ 과 $ \det \mathbf{F} = 1 $ 의 항등식을 사용하며, 특히 $ E_{11}-E_{22} $ 와 $ E_{12}+E_{21} $ 의 성분에 초점을 맞춘다.
• 선형 조합 $ E_{11}-E_{22} + \sqrt{2}(E_{12}+E_{21}) $ 와 $ E_{12}+E_{21} - \sqrt{2}(E_{11}-E_{22}) $ 의 진화 방정식을 유도하고, 에너지 유형 추정치를 통해 $ L^\infty $ 유계성을 확보하는 것.
• 응력 텐서의 분해를 활용하고 $ \det E $ 의 이차형 구조를 이용하여, $ \|E(t)\|_{L^\infty} $ 를 $ \mathcal{G}_j $ 로 표현하는 추정치를 도출함으로써 변형 기울기의 균일한 제어를 보장하는 것.
• 새로운 추정치를 활용한 디펜라-리온스 컴팩트니스 프레임워크를 적용하여 갈레르킨 근사에서 극한을 취함으로써, 전역적인 약한 해를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 초기 자료를 가진 2차원 비압축성 올드로이드 모델에 대해, 소형성 조건이 없더라도 시간에 대해 전역적인 약한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 유동 지도 변형으로 인한 에너지 농축은 어떻게 제거할 수 있는가?
• RQ3 강한 컴팩트니스가 없을 경우, 효과적 점성 유량 $ \mathcal{G} $ 는 변형 기울기 $ \mathbf{F} $ 의 진동을 어떻게 제어하는가?
• RQ4 코시-그린 텐서 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 의 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-노름에 대한 새로운 사전 추정치를 통해 에너지 추정치를 닫고 전역 존재성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 2차원에서 $ \det \mathbf{F} = 1 $ 과 $ \text{div}\, \mathbf{F}^T = 0 $ 의 구조적 항등식만을 사용하여 변형 기울기 성분에 대한 $ L^\infty $ 유계성을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 물리적 에너지 공간에서 임의의 대규모 초기 자료를 가진 2차원 비압축성 올드로이드 모델에 대해 레일리-호프 유형의 전역적인 시간 약한 해의 존재를 확립한다.
• 유동 지도 변형으로 인한 에너지 농축을 방지하기 위해, 코시-그린 텐서 $ \tau = \mathbf{F}\mathbf{F}^T $ 의 공간-시간 $ L^{3/2}_{\text{loc}} $-노름에 대한 새로운 사전 추정치가 도출된다.
• 효과적 점성 유량 $ \mathcal{G} $ 는 변형 기울기 $ \mathbf{F} $ 의 진동을 제어하고, 디펜라-리온스 컴팩트니스 추론의 적용을 가능하게 한다.
• $ E_{11}-E_{22} $ 와 $ E_{12}+E_{21} $ 의 $ L^\infty $-노름은 그들의 진화 방정식에 대한 에너지 유형 추정치를 통해 $ \mathcal{G}_2 $ 와 $ \mathcal{G}_3 $ 로 표현된 유계성으로 유도된다.
• $ \|E(t)\|_{L^\infty} $ 의 유계성은 $ \mathcal{G}_j $ 와 $ \det E $ 의 이차형 구조를 통해 제어되며, 이는 변형 텐서의 균일한 제어를 보장한다.
• 이 결과는 행렬값을 가진 미지수를 갖는 쌍곡-타원형 시스템에 디펜라-리온스 프레임워크를 확장하여, 점성유체 모델을 다루는 데 새로운 방법을 제공한다.