[논문 리뷰] On the Chow theory of projectivizations

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 47인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 호모로지 차원 ≤1인 코herent sheaf의 프로젝티브화에 대해 초등적으로 Chow 이론적 분해 공식을 수립하며, [JL18]의 유도 범주 반직교 분해를 Chow 군과 모티브로 일반화한다. 미묘한 매끄러움성과 차원 조건 하에서 이러한 프로젝티브화의 Chow 군은 특이점의 Springer 유형 해소와 기저의 이동된 Chow 군을 포함하는 직합으로 분해됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove a decomposition result for the Chow groups of projectivizations of coherent sheaves of homological dimension $\le 1$. In this process, we establish the decomposition of Chow groups for the cases of Cayley's trick and standard flips. Moreover, we apply these results to study the Chow groups of symmetric powers of curves, nested Hilbert schemes of surfaces, and the varieties resolving Voisin maps for cubic fourfolds.

연구 동기 및 목표

• 호모로지 차원 ≤1인 sheaf의 프로젝티브화에 대해 유도 범주 반직교 분해를 Chow 군과 모티브의 맥락으로 확장한다.
• 조건 (A) 또는 (B) 하에서 [JL18]의 프로젝티브화 공식에 대한 Chow-이론적 동반을 수립한다.
• 분해를 이용해 타원곡선의 대칭곱, 표면의 네스트된 Hilbert 스킴, 삼차 4차 초곡면에 대한 Voisin 사상의 해소를 계산한다.
• Chow 군의 동형사상이 실현 함자들을 통해 Chow 모티브와 유리 Hodge 구조의 동형사상을 유도함을 보인다.
• 반분해의 탈분해화를 통해 교차 호모로지 이론, Quot 스킴, 유도 범주에 대한 광범위한 함의를 탐색한다.

제안 방법

• 매끄럽고 약한 차원 조건 (A) 하에서, 또는 기대 차원 조건 (B) 하에서, 호모로지 차원 ≤1인 코herent sheaf의 프로젝티브화에 대해 Chow-이론적 분해를 두 가지 별개의 방법으로 증명한다.
• Cayley의 기교를 사용하여 프로젝티브화의 Chow 군을 첫 번째 Ext sheaf 위의 쌍대 프로젝티브화의 Chow 군과 연결한다.
• 알gebraic geometry의 표준 플립을 분석하여, 블로우업과 해소를 통해 특이 프로젝티브화의 Chow 군을 분해한다.
• Jacobian 위의 sheaf의 프로젝티브화로 표현되는 대칭곱을 이용해 분해를 타원곡선에 적용한다.
• Chow 군의 동형사상을 이용해 Manin의 정규성 원리를 통해 Chow 모티브의 동형사상을 유도한다.
• Betti 코homology 실현을 활용하여 모티브 동형사상으로부터 유리 Hodge 구조의 동형사상을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모로지 차원 ≤1인 sheaf의 프로젝티브화에 대해 유도 범주 반직교 분해를 Chow 군의 동형사상으로 올릴 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 코herent sheaf의 프로젝티브화의 Chow 군이 Springer 유형 해소의 Chow 군과 기저의 이동된 Chow 군을 포함하는 직합으로 분해되는가?
• RQ3 Chow-이론적 분해는 Chow 모티브와 유리 Hodge 구조의 동형사상을 유도하는가?
• RQ4 이 분해는 타원곡선의 대칭곱과 표면의 네스트된 Hilbert 스킴의 Chow 군 계산에 적용 가능한가?
• RQ5 프로젝티브화 공식은 스택으로 일반화되거나, 더 높은 Chow 군과 링 구조로 확장 가능한가?

주요 결과

• 코hen–Macaulay 스킴 $X$ 와 질량 $r$ 과 호모로지 차원 ≤1인 코herent sheaf $\mathscr{G}$ 에 대해 조건 (A) 또는 (B) 하에서 다음과 같은 분해가 존재한다: $\operatorname{CH}_{k}(\mathbb{P}(\mathscr{G}))\simeq\operatorname{CH}_{k-r}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})))\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}\operatorname{CH}_{k-(r-1)+i}(X)$.
• 만약 $X$, $\mathbb{P}(\mathscr{G})$, $\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X}))$ 가 모두 매끄럽고 사영적이라면 다음과 같은 정수 Chow 모티브의 동형사상이 존재한다: $\mathfrak{h}(\mathbb{P}(\mathscr{G}))\simeq\mathfrak{h}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})))(r)\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}\mathfrak{h}(X)(i)$.
• 모티브 동형사상은 다음과 같은 유리 Hodge 구조의 동형사상을 유도한다: $H^{n}(\mathbb{P}(\mathscr{G}),\mathbb{Q})\simeq H^{n-2r}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})),\mathbb{Q})\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}H^{n-2i}(X,\mathbb{Q})$ 모든 $n\geq 0$ 에 대해.
• 이 분해는 타원곡선의 대칭곱에 적용 가능하다: $\operatorname{CH}_{k}(C^{(g-1+n)})\simeq\operatorname{CH}_{k-n}(C^{(g-1-n)})\oplus\bigoplus_{i=0}^{n-1}\operatorname{CH}_{k-(n-1)+i}(\operatorname{Jac}(C))$.
• 표면 $S$ 에서의 네스트된 Hilbert 스킴 $\mathrm{Hilb}_{n,n+1}(S)$ 에 대해서는 프로젝티브화 공식을 통해 Chow 군 분해가 성립한다.
• 대각선에 沿해 $F(Y)\times F(Y)$ 의 블로우업에 대해 다음과 같은 동형사상이 존재한다: $\Gamma^{*}\oplus\pi^{*}\colon\operatorname{CH}_{k-1}(\widetilde{Z})\oplus\operatorname{CH}_{k}(F(Y)\times F(Y))\xrightarrow{\sim}\operatorname{CH}_{k}(\operatorname{Bl}_{Z}(F(Y)\times F(Y)))$, 여기서 $\widetilde{Z}=\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathcal{P},\mathcal{F}))$.