[논문 리뷰] On The Chromatic Number of Matching Graphs

Meysam Alishahi, Hossein Hajiabolhassan|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 30.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Kneser 및 Schrijver 그래프의 일반화인 매칭 그래프의 색수를 결정하기 위해 교대 Turán 수를 도입하고, 이 수가 매칭에 대한 일반화된 Turán 수와 같음을 증명한다. Tucker의 보조정리와 altermatic 수를 하한으로 사용하여, 매칭 그래프의 색수는 정확히 |E(G)| − ex(G, rK₂)임을 입증한다. 이는 Schrijver의 Schrijver 그래프에 대한 결과를 일반화하고, 순열 그래프 및 최소 차수가 높은 밀도 있는 이분 그래프로 확장한다.

ABSTRACT

In an earlier paper, the present authors (2013) introduced the altermatic number of graphs and used Tucker's Lemma, an equivalent combinatorial version of the Borsuk-Ulam Theorem, to show that the altermatic number is a lower bound for the chromatic number. A matching graph has the set of all matchings of a specified size of a graph as vertex set and two vertices are adjacent if the corresponding matchings are edge-disjoint. It is known that the Kneser graphs, the Schrijver graphs, and the permutation graphs can be represented by matching graphs. In this paper, as a generalization of the well-known result of Schrijver about the chromatic number of Schrijver graphs, we determine the chromatic number of a large family of matching graphs by specifying their altermatic number. In particular, we determine the chromatic number of these matching graphs in terms of the generalized Turan number of matchings.

연구 동기 및 목표

• Schrijver 그래프의 색수에 대한 Schrijver의 결과를 더 넓은 범위의 매칭 그래프로 일반화하기.
• 매칭 그래프의 색수와 매칭에 대한 일반화된 Turán 수 사이의 관계를 설정하기.
• 충분히 큰 정점 수를 가진 순열 그래프의 색수를 결정하기.
• Tucker의 보조정리를 통해 altermatic 수가 매칭 그래프의 색수에 대해 날것 있는 하한을 제공함을 증명하기.
• 교대 Turán 수를 도입하고, 색수를 유계화하는 데 핵심 도구로 활용하기.

제안 방법

• 저자들은 교대 수열(±1)을 사용하여 초그래프의 altermatic 수와 강한 altermatic 수를 정의하고, Tucker의 보조정리를 활용하여 색수에 대한 하한을 확립한다.
• 일반화된 Turán 수의 일반화로 매칭에 특화된 교대 Turán 수를 도입한다.
• 매칭 그래프를 기초 그래프 G의 크기 r 매칭에 대응하는 초변을 가진 일반 Kneser 그래프 KG(H)로 표현하는 방법을 사용한다.
• 이중 그래프 H ⊆ G의 최소 차수가 ≥ n/2 + q 이면 H는 (r,c)-지역적으로 올림프라임임을 증명하고, 이는 완전 이중 부분그래프로 분해 가능함을 보여준다.
• 이 분해와 (r,c)-지역적으로 올림프라임 그래프의 성질을 이용하여, KG(G, rK₂)의 색수가 정확히 |E(G)| − ex(G, rK₂)임을 보인다.
• 증명은 부분그래프로의 색수 확장과 Hall의 정리를 사용하여 rK₂를 포함하지 않는 부분그래프의 간선 수를 유계화하는 데 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 차수가 높은 밀도 있는 이분 그래프에서 생성된 매칭 그래프의 색수는 무엇인가?
• RQ2 altermatic 수는 매칭 그래프의 색수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 일반화된 Turán 수를 사용하여 충분히 큰 정점 수를 가진 순열 그래프의 색수를 결정할 수 있는가?
• RQ4 교대 Turán 수가 매칭에 대한 일반화된 Turán 수와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 KG(G, rK₂)의 색수는 항상 |E(G)| − ex(G, rK₂)와 일치하는가, 이는 추측된 바이다.

주요 결과

• 모든 r ≥ 1에 대해, 일정한 q와 m가 존재하여, 2n개 정점을 가진 그래프 G가 최소 차수 ≥ n/2 + q인 균형 잡힌 이중 부분그래프 H를 가지며 n ≥ m이면, χ(KG(G, rK₂)) = |E(G)| − ex(G, rK₂)이다.
• 충분히 큰 m에 대해, KG(K_{m,n}, rK₂)의 색수는 정확히 m(n − r + 1)이며, 이는 일반화된 Turán 수와 일치한다.
• m이 짝수이고 m ≥ n ≥ r이면, KG(K_{m,n}, rK₂)의 색수는 m(n − r + 1)이며, 이는 이 경우 추측을 확인한다.
• 큰 m에 대해 순열 그래프 S_r(m,n)의 색수는 m(n − r + 1)로 결정되었으며, 이는 Schrijver의 결과를 확장한다.
• altermatic 수는 매칭 그래프의 색수에 대해 날것 있는 하한을 제공하며, 이 하한은 교대 Turán 수가 일반화된 Turán 수와 일치할 때 도달된다.