[논문 리뷰] On the Classical Hardness of Spoofing Linear Cross-Entropy Benchmarking

Scott Aaronson, Sam Gunn|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 26.

Advancements in Photolithography Techniques인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 XQUATH라는 새로운 가정 하에 선형 교차 엔트로피 벤치마킹(Linear XEB)을 위조하는 것이 고전적으로 어렵다는 것을 입증한다. XQUATH는 임의의 양자 회로의 특정 출력 문자열(예: $0^n$)의 출력 확률을 비트리얼보다 더 높은 정확도로 추정하는 것이 불가능하다는 가정이다. 저자들은 XEB 위조 문제를 XQUATH로 환원하여, XEB 위조를 효율적으로 수행할 수 있는 고전적 알고리즘이 존재한다면 XQUATH도 해결할 수 있음을 증명함으로써, 위조의 난이도가 강력한, 샘플링을 수반하지 않는 가정과 연결지었다.

ABSTRACT

Recently, Google announced the first demonstration of quantum computational supremacy with a programmable superconducting processor. Their demonstration is based on collecting samples from the output distribution of a noisy random quantum circuit, then applying a statistical test to those samples called Linear Cross-Entropy Benchmarking (Linear XEB). This raises a theoretical question: how hard is it for a classical computer to spoof the results of the Linear XEB test? In this short note, we adapt an analysis of Aaronson and Chen [2017] to prove a conditional hardness result for Linear XEB spoofing. Specifically, we show that the problem is classically hard, assuming that there is no efficient classical algorithm that, given a random n-qubit quantum circuit C, estimates the probability of C outputting a specific output string, say 0^n, with variance even slightly better than that of the trivial estimator that always estimates 1/2^n. Our result automatically encompasses the case of noisy circuits.

연구 동기 및 목표

• 양자 우월성 실험에서 핵심 테스트인 선형 교차 엔트로피(XEB) 벤치마킹을 위조하는 데 있어 고전적 계산 난이도를 확립하기 위해.
• 임의의 양자 회로의 출력 확률을 추정하는 데 어려움을 압축하는 샘플링을 수반하지 않는 새로운 가정인 XQUATH를 제안하기 위해.
• XEB 위조가 XQUATH를 해결하는 것과 동일한 난이도를 가짐을 보여주어, XEB 위조의 난이도를 명확히 정의된 복잡도 이론적 가정으로 이행하기 위해.
• 노이즈가 있는 양자 회로에 대해서도 적용 가능한 조건부 난이도 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• XQUATH를 새로운 복잡도 가정으로 도입: 임의의 $n$- 큐비트 양자 회로의 고정된 문자열(예: $0^n$)에 대한 출력 확률을 다항 시간 내에 성공 확률 $>1/2 + \text{poly}(1/2^n)$ 으로 추정할 수 있는 고전적 알고리즘이 존재하지 않음.
• XQUATH 문제에서 선형 XEB 위조 문제로의 환원을 구성하여, XEB 위조를 효율적으로 수행할 수 있는 알고리즘이 존재한다면 XQUATH도 해결할 수 있음을 보임.
• 임의의 문자열 $z$ 와 NOT 게이트를 $z_i = 1$ 인 큐비트에 적용하여 변환된 회로 $C'$ 를 구성함으로써, 회로 분포를 유지하고 $\bra{0^n}C\ket{0^n}$ 과 $\bra{z}C'\ket{0^n}$ 을 연결함.
• 이차 표현 $\mathbb{E}[X]$ 의 기대값에 기반한 확률적 추론을 사용하여, XEB가 높은 확률로 위조된다면 추정기의 성능이 비트리얼보다 뛰어나야 하며, 이는 XQUATH와 모순됨을 보임.
• 성공 확률 $s$ 와 XEB 임계값 $b$ 를 고려해, 성공적인 XEB 위조 알고리즘을 위해 필요한 최소 샘플 수 $k$ 의 하한을 유도: $k \geq 1/((2s-1)b - 1)(b-1)$.
• 특히 $b \approx 2$ 인 경우, XEB를 높은 확률로 위조하기 위해서는 $k = \Omega((b-1)^{-2})$ 개의 샘플이 필요하며, 이는 노이즈가 증가할수록 급격히 증가함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합리적인 복잡도 가정 하에 XEB 위조는 고전적으로 어렵다고 볼 수 있는가?
• RQ2 XEB 위조의 난이도를 전반적인 샘플링을 수반하는 가정이 아닌, 샘플링을 수반하지 않는 가정으로 환원할 수 있는가?
• RQ3 XQUATH와 이전의 QUATH 가정 간의 계산적 강도와 의미적 영향은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 XEB 위조를 위한 샘플 수가 민감도 임계값 $b$ 와 성공 확률 $s$ 에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 성공 확률 $s > \frac{1}{2} + \frac{1}{2b}$ 로 XEB를 위조하는 것은 XQUATH 가정 하에 고전적으로 어렵다.
• 고전적 알고리즘이 XEB를 높은 확률로 위조하기 위해 필요한 샘플 수 $k$ 는 $k \geq \frac{1}{((2s-1)b - 1)(b - 1)}$ 로 하한이 존재한다.
• 특히 $b = 1 + \delta$ 이고 $s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2b} + \epsilon$ 인 경우, 필요한 샘플 수는 약 $1/(2\epsilon\delta)$ 수준이다.
• 성공 확률 $s = 1$ 이더라도 샘플 수는 $(b - 1)^{-2}$ 를 초과해야 하며, 이는 $b \to 1^+$ 일 때 증가하여 높은 노이즈 조건에서 매우 커짐을 의미한다.
• 환원 과정을 통해 XEB 위조는 임의의 양자 회로의 출력 진폭을 추정하는 것만큼 어렵다는 것을 보여주며, XEB 위조에 특별한 단서가 존재하지 않음을 암시한다.
• 노이즈가 있는 회로에 대해서도 결과가 성립한다. XQUATH 가정은 노이즈 모델과 독립적이며, 디폴라라이징 노이즈 및 기타 현실적인 설정에도 증명이 적용됨.