[논문 리뷰] On the Classification of Asymptotic Quasinormal Frequencies for d-Dimensional Black Holes and Quantum Gravity

José Natário, Ricardo Schiappa|arXiv (Cornell University)|2004. 11. 29.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 49인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 스위처랜드, 라이스너–노르트스트롬, 데 시터, 안티-데 시터를 포함한 다양한 시공간 유형의 d차원 블랙홀에 대해 이시바시–코다마 주요 방정식을 사용하여 渐近(quasinormal) 주파수의 완전한 분석적 분류를 제공한다. 이는 오직 스위처랜드 경우에만 차원에 독립적인 주파수가 존재하며, 면적 양자화와 같은 일관된 양자 중력 응용이 가능하다는 것을 드러내며, 고차원 및 전하를 띤 블랙홀의 경우 특수한 경우인 d=5에서 차원에 따라 달라지거나 연속 스펙트럼을 보인다.

ABSTRACT

We provide a complete classification of asymptotic quasinormal frequencies for static, spherically symmetric black hole spacetimes in d dimensions. This includes all possible types of gravitational perturbations (tensor, vector and scalar type) as described by the Ishibashi-Kodama master equations. The frequencies for Schwarzschild are dimension independent, while for RN are dimension dependent (the extremal RN case must be considered separately from the non-extremal case). For Schwarzschild dS, there is a dimension independent formula for the frequencies, except in dimension d=5 where the formula is different. For RN dS there is a dimension dependent formula for the frequencies, except in dimension d=5 where the formula is different. Schwarzschild and RN AdS black hole spacetimes are simpler: the formulae for the frequencies will depend upon a parameter related to the tortoise coordinate at spatial infinity, and scalar type perturbations in dimension d=5 lead to a continuous spectrum for the quasinormal frequencies. We also address non-black hole spacetimes, such as pure dS spacetime--where there are quasinormal modes only in odd dimensions--and pure AdS spacetime--where again scalar type perturbations in dimension d=5 lead to a continuous spectrum for the normal frequencies. Our results match previous numerical calculations with great accuracy. Asymptotic quasinormal frequencies have also been applied in the framework of quantum gravity for black holes. Our results show that it is only in the simple Schwarzschild case which is possible to obtain sensible results concerning area quantization or loop quantum gravity. In an effort to keep this paper self-contained we also review earlier results in the literature.

연구 동기 및 목표

• 구면 대칭을 갖는 모든 d차원 블랙홀 시공간에서 渐近(quasinormal) 주파수를 체계적으로 분류하는 것.
• 특히 극한 및 고차원 경우에서 이러한 주파수가 차원에 독립적 또는 의존적인지 규명하는 것.
• 특히 면적 양자화와 고리 양자중력에서의 응용을 포함하여, 진동수 모드가 양자 중력 응용에 실현 가능한지 평가하는 것.
• 정확한 渐近( asymptotic) 공식을 유도하여 수치 결과와 분석적 기대 간의 모순을 해결하는 것.
• 기존의 4차원 진동수 모드 연구를 고차원으로 확장하고, 우주상수 및 전하를 포함하는 것.

제안 방법

• d차원에서 중력 편미분을 텐서, 벡터, 스칼라 유형으로 분해하기 위해 이시바시–코다마 주요 방정식을 적용하는 것.
• 이심좌표와 효과적 퍼텐셜이 사건의 지평선과 무한원에서 어떻게 행동하는지의 渐近( asymptotic) 분석.
• 반경 방정식에서 渐近(quasinormal) 주파수 스펙트럼을 추출하기 위해 WKB 및 단일화법(monodromy) 방법을 사용하는 것.
• 시공간 매개변수와 차원 d에 따라 정확한 분석적 표현식을 유도하는 것.
• 극한 및 비극한 라이스너–노르트스트롬 블랙홀의 해석적 행동이 다르므로 별도로 다루는 것.
• 기존 수치 데이터와의 비교를 통해 분석 결과의 정확성을 수치적으로 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 스위처랜드 블랙홀에 대한 渐近(quasinormal) 주파수는 무엇이며, 이는 차원에 독립적인가?
• RQ2 라이스너–노르트스트롬 블랙홀의 渐近( asymptotic) 주파수는 시공간 차원에 따라 어떻게 달라지며, 특히 극한 경우는 어떠한가?
• RQ3 왜 스위처랜드-데 시터 및 라이스너–노르트스트롬-데 시터 시공간에서 d=5의 경우 다른 주파수 공식을 보이는가?
• RQ4 d차원 안티-데 시터 시공간에서의 진동수 스펙트럼은 무엇인가? 특히 d=5에서 스칼라 유형의 편미분에 대해 어떻게 되는가?
• RQ5 d차원 블랙홀에서의 진동수 주파수는 면적 양자화와 같은 일관된 양자 중력 예측을 뒷받침할 수 있는가?

주요 결과

• 스위처랜드 블랙홀의 渐近(quasinormal) 주파수는 차원에 독립적이며, 4차원의 경우와 일치한다.
• 라이스너–노르트스트롬 블랙홀의 경우 주파수는 차원에 따라 달라지며, 극한의 경우 별도로 다뤄야 한다.
• 스위처랜드-데 시터 시공간에서는 d=5를 제외한 모든 경우에서 주파수 공식이 차원에 독립적이다.
• 라이스너–노르트스트롬-데 시터의 경우 주파수 공식은 차원에 따라 달라지며, d=5는 예외이다.
• d차원 안티-데 시터 시공간에서 스칼라 유형의 편미분은 d=5에서 이산 주파수 대신 연속 스펙트럼을 보인다.
• 오직 스위처랜드의 경우에만 일관되고 차원에 독립적인 결과를 도출하며, 면적 양자화와 같은 양자 중력 응용에 적합하다.