[논문 리뷰] On the coefficients of the Baez-Duarte criterion for the Riemann hypothesis and their extensions

Mark W. Coffey|ArXiv.org|2006. 08. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ 1/\zeta(s) $ 의 Pochhammer 다항식 전개에서의 계수 $ c_k $ 를 분석함으로써 Riemann 가설에 대한 Báez-Duarte 기준을 일반화한다. 이를 통해 Dirichlet $ L $-함수와 Hurwitz 제타 함수로 확장하고, 완전한 Bell 다항식을 통해 Stieltjes 상수와 연관지운다. 주요 기여는 일반화된 Riemann 가설에 대한 잠재적 기준이 되는 매개변수화된 확장 $ c_k(b,\chi) $ 를 제안하는 것이다.

ABSTRACT

We present analytic properties and extensions of the constants ck appearing in the Baez-Duarte criterion for the Riemann hypothesis. These constants are the coefficients of Pochhammer polynomials in a series representation of the reciprocal of the Riemann zeta function. We present generalizations of this representation to the Hurwitz zeta and many other special functions. We relate the corresponding coefficients to other known constants including the Stieltjes constants and present summatory relations. In addition, we generalize the Maslanka hypergeometric-like representation for the zeta function in several ways.

연구 동기 및 목표

• Riemann 가설에 대한 Báez-Duarte 기준에서의 계수 $ c_k $ 의 해석적 성질을 분석하는 것.
• $ 1/\zeta(s) $ 의 Pochhammer 다항식 전개를 Hurwitz 제타 함수, 다중 제타 함수, Dirichlet $ L $-함수로 일반화하는 것.
• 완전한 Bell 다항식을 이용해 계수 $ c_k $ 를 Stieltjes 상수 $ \gamma_k $ 와 기타 수론적 상수와 연결하는 것.
• Maślanka의 초함수 유사 표현식 $ \zeta(s) $ 를 더 넓은 범위의 $ L $-함수와 특수함수로 확장하는 것.
• 일반화된 Riemann 가설에 대한 잠재적 기준이 될 수 있는 매개변수화된 계수 $ c_k(b,\chi) $ 를 제안하는 것.

제안 방법

• Pochhammer 다항식 $ P_k(s) $ 를 사용하여 $ 1/\zeta(s) = \sum_{k=0}^\infty c_k P_k(s/2) $ 의 급수 전개를 통해 계수 $ c_k $ 를 유도하는 것.
• Faà di Bruno의 공식과 지수 완전 Bell 다항식 $ Y_j $ 를 사용하여 $ s=1 $ 에서 $ P_k(s/2) $ 의 도함수를 표현하는 것.
• $ s=1 $ 근처에서 $ 1/\zeta(s) $ 의 로랑 급수 전개를 비교함으로써 $ c_k $ 와 Stieltjes 상수 $ \gamma_k $ 를 연결하는 것.
• Dirichlet $ L $-함수에 대해 $ c_k(b,\chi) = \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \frac{1}{L(bj+b, \chi)} $ 의 공식을 일반화하는 것.
• Euler 곱 표현식을 적용하여 $ c_k $ 를 소수에 대한 교호적 이항합으로 표현하는 것.
• 큰 $ k $ 에 대해 $ c_k \approx \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2} e^{-k/n^2} $ 와 푸리에 변환 표현식을 포함한 점근적 근사치를 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Báez-Duarte 기준의 계수 $ c_k $ 는 해석적으로 어떻게 행동하며, Stieltjes 상수와 어떤 연결고리가 있는가?
• RQ2 Pochhammer 다항식 전개로 표현된 $ 1/\zeta(s) $ 는 Hurwitz 및 Lerch 제타 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 완전한 Bell 다항식은 $ c_k $ 와 $ \zeta(s) $ 의 로랑 계수 사이의 관계를 어떻게 설명하는가?
• RQ4 매개변수화된 계수 $ c_k(b,\chi) $ 는 Dirichlet $ L $-함수에 대한 일반화된 Riemann 가설과 동치인 기준이 될 수 있는가?
• RQ5 특히 진동 성분을 포함한 $ c_k $ 의 점근적 행동은 Riemann 가설의 진리성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• $ c_k = O(k^{-1/2}) $ 이며, 이는 조건 없이 성립하고, Riemann 가설 하에서는 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 $ c_k = O(k^{-3/4+\epsilon}) $ 이다.
• $ \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1/2)}{k!} c_k = 0 $ 이 성립하며, 이는 $ s=1 $ 에서 $ \zeta(s) $ 의 단순극점과 관련이 있다.
• $ -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1/2)}{k!} \psi(k+1/2) c_k = 1 $ 이 성립하며, 이는 $ c_k $ 를 딤타-함수와 오일러 상수와 연결한다.
• $ \sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1/2)}{k!} \left[ \psi^2(k+1/2) + \psi'(k+1/2) \right] c_k = -4\sqrt{\pi}(\gamma - 2\ln 2) $ 이 성립하며, 이는 $ c_k $ 를 오일러-마스케로니 상수와 연결한다.
• 일반화된 계수 $ c_k(b,\chi) = \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \frac{1}{L(bj+b, \chi)} $ 는 Báez-Duarte 기준을 Dirichlet $ L $-함수로 확장한다.
• $ \text{Re}(s) > 1 $ 에서 $ 1/L(s,\chi) = \sum_{k=0}^\infty c_k(b,\chi) P_k(s/b) $ 이 성립하며, 이는 일반화된 Riemann 가설에 대한 잠재적 기준을 시사한다.