[논문 리뷰] ON THE COHOMOLOGICAL CREPANT RESOLUTION CONJECTURE FOR WEIGHTED PROJECTIVE SPACES

Samuel Boissi Ere, Étienne Mann외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 가중 투영 공간 P(1;3;4;4) 및 P(1,…,1;n)에 대해 코homological Crepant Resolution 추측의 수정된 버전을 증명하며, Gorenstein 오비폴드의 오비폴드 코hom로지 링과 그 크렙란트 해소의 양자 보정 코hom로지 링 사이의 동형을 확립한다. 이는 Gromov-Witten 불변량을 사용하여 변형을 정의한다. 결과적으로 이는 오비폴드와 크렙란트 해소의 맥컬레이 추측의 일반화를 지지한다.

ABSTRACT

We prove a modied version of the Cohomological Crepant Resolu- tion Conjecture for the weighted projective spaces P(1; 3; 4; 4) and P(1; : : : ; 1; n). The Cohomological Crepant Resolution Conjecture, as proposed by Y. Ruan (Rua06), predicts the existence of an isomorphism between the orbifold cohomology ring of a Gorenstein orbifold Y and the quantum corrected cohomology ring of any crepant resolution : Z ! jY j of the coarse moduli space jY j of Y , when it exists. The quantum corrected cohomology ring of Z is a deformation of the cohomology ring whose denition involves Gromov-Witten invariants associated to certain exceptional sets. The conjecture belongs to the so called generalized McKay correspondence which broadly speaking can be viewed as a duality between the algebra of nite groups and the geometry of crepant resolutions. The following examples was used to verify it: the Hilbert scheme of r points on a projective surface S (see (LQ02) for r = 2, (ELQ03) and (LL) for S = P 2 r = 3, and (FG03), (QW02), (Uri05) for r general and S with numerically trivial canonical class); the Hilbert scheme of r points on a quasi-projective surface S carrying a holomorphic symplectic form (see (LQW04), (LS01) and (Vas01));

연구 동기 및 목표

• 가중 투영 공간의 맥락에서 Cohomological Crepant Resolution 추측을 검증한다.
• Gorenstein 오비폴드의 오비폴드 코hom로지 링과 그 크렙란트 해소의 양자 보정 코hom로지 링 사이의 동형을 수립한다.
• 코hom로지 불변량을 통해 비표준 오비폴드로의 일반화 맥컬레이 추측을 확장한다.
• Gromov-Witten 불변량이 크렙란트 해소의 코hom로지 링 변형에 미치는 역할을 분석한다.

제안 방법

• 비표준 오비폴드 구조를 가진 가중 투영 공간에 대해 Cohomological Crepant Resolution 추측을 적응한다.
• Gorenstein 오비폴드 Y = P(1;3;4;4) 및 P(1,…,1;n)의 오비폴드 코hom로지 링을 계산한다.
• 粗모듈리공간 |Y|의 크렙란트 해소 π: Z → |Y|를 구성한다.
• 예외적 다발에 관련된 Gromov-Witten 불변량을 사용하여 Z의 양자 보정 코hom로지 링을 정의한다.
• 생성 함수를 통해 Y의 오비폴드 코hom로지 링과 Z의 양자 보정 코호모로지 링을 비교한다.
• 수정된 추측 하에 두 링 사이의 동형이 존재하는지 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 투영 공간 P(1;3;4;4)에 대해 Cohomological Crepant Resolution 추측이 성립하는가?
• RQ2 비표준 특이점과 비자명한 안정자군을 가진 오비폴드를 수용하기 위해 추측을 수정할 수 있는가?
• RQ3 P(1,…,1;n)의 오비폴드 코hom로지 링과 그 크렙란트 해소의 양자 보정 코호모로지 링 사이에 동형이 존재하는가?
• RQ4 Gromov-Witten 불변량은 해소에서 코호모로지 링의 변형에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 일반화 맥컬레이 추측은 가중 투영 공간으로 얼마나 넓게 확장되는가?

주요 결과

• Cohomological Crepant Resolution 추측은 P(1;3;4;4) 및 P(1,…,1;n)에 대해 수정된 형태로 성립한다.
• Gorenstein 오비폴드 Y의 오비폴드 코호모로지 링과 그 크렙란트 해소 Z의 양자 보정 코호모로지 링 사이에 동형이 존재한다.
• Z의 코호모로지 링의 변형은 예외적 집합에 관련된 Gromov-Witten 불변량에 의해 완전히 결정된다.
• 수정된 추측은 가중 투영 공간의 오비폴드 구조와 특이점을 성공적으로 반영한다.
• 결과는 대수기하학에서 일반화 맥컬레이 추측의 광범위한 프레임워크를 지지한다.
• 검증 결과는 이전에 연구된 경우들(예: 표면의 점들의 Hilbert 스킴)을 초월하여 추측의 타당성을 뒷받침한다.