[논문 리뷰] On the cohomology of certain non-compact Shimura varieties (with an appendix by Robert Kottwitz)

Sophie Morel|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Q 위의 유니타리 군과 관련된 비콤파クト 샤펠라 다양체의 교차 코hom로지에 대한 히크 대응과 프로베누스의 거듭제곱의 합성의 트레이스를 계산하며, 이 결과를 일반선형군의 곱에 대한 왜곡된 트레이스 공식을 통해 안정화한다. 핵심 기여는 정리 8.4.3으로, 교차 코호몰로지 복합체의 L함수를 내재된 군 위의 자동형 L함수로 표현하며, 안정된 트레이스 공식을 통해 수론기하학과 자동형 형식 사이의 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to calculate the trace of the composition of a Hecke correspondence and a (high enough) power of the Frobenius at a good place on the intersection cohomology of the Satake-Baily-Borel compactification of certain Shimura varieties, to stabilize the result for Shimura varieties associated to unitary groups over $\mathbb{Q}$ and to give applications of this calculations using base change from these unitary groups to $GL_n$. ----- Le but de ce texte est de calculer la trace d'une correspondance de Hecke composee avec une puissance (assez grande) du Frobenius en une bonne place sur la cohomologie d'intersection de la compactification de Satake-Baily-Borel de certaines varietes de Shimura, de stabiliser le resultat obtenu pour les varietes de Shimura associees aux groupes unitaires sur $\mathbb{Q}$, et de donner des applications de ces calculs en utilisant le changement de base de ces groupes unitaires a $GL_n$.

연구 동기 및 목표

• 비콤파クト 샤펠라 다양체의 바일리-보렐 콤파クト화에 대한 교차 코호몰로지에 대한 히크-프로베누스 연산자의 트레이스를 명시적으로 계산하는 것.
• Q 위의 유니타리 군에 대한 안정된 및 왜곡된 트레이스 공식을 활용하여 이 트레이스 공식을 안정화하는 것.
• 교차 코호몰로지 복합체의 L함수를 내재된 군 위의 자동형 L함수로 표현하는 것.
• 안정된 트레이스 공식을 통해 기하학적 코호몰로지 불변량과 자동형 표현 간의 정밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• 코트위츠의 작업에서 사용된 오일러-포앵카르에 함수의 부호 문자의 정의를 수정하고 명확히 하는 것.

제안 방법

• 코트위츠와 고레스키-코트위츠-맥퍼슨의 고정점 공식을 적용하여 코호몰로지 위의 트레이스를 궤도 적분과 연결한다.
• 가중 코호몰로지 복합체와 교차 코호몰로지를 사용하여 바일리-보렐 콤파クト화의 특이점을 다룬다.
• 내재된 군 위의 자동형 표현과의 연결을 위해 내재된 전이 및 안정화 기법을 활용한다.
• 내재된 군에 대한 왜곡된 전이 인자들을 도입하고 비교하여 이전 공식화에서의 불일치를 해결한다.
• 기본 논문과 하르 측도의 정규화를 적용하여 트레이스 공식의 일관성을 확보한다.
• 비연결 군을 위한 불변 트레이스 공식과 안정화 기법을 사용하여 기하 측면으로의 결과 확장을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤파クト 샤펠라 다양체의 교차 코호몰로지에 대한 히크-프로베누스 연산자의 트레이스는 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 교차 코호몰로지 복합체의 L함수와 내재된 군 위의 자동형 L함수 사이의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ3 유니타리 군과 그 내재된 자료의 맥락에서 왜곡된 전이 인자와 궤도 적분은 어떻게 안정화되는가?
• RQ4 코트위츠의 프레임워크에서 오일러-포앵카르에 함수의 부호 문자 정의에 필요한 수정 사항은 무엇인가?
• RQ5 고정점 공식의 안정화가 어떻게 자동형 L함수의 기하학적 실현으로 이어지는가?

주요 결과

• 정리 8.4.3은 유니타리 샤펠라 다양체의 교차 코호몰로지에 대한 히크-프로베누스 연산자 트레이스를 위한 안정된 트레이스 공식을 수립한다.
• 보조정리 8.4.5는 교차 코호몰로지 복합체의 국소 L인자(=L-factor)를 내재된 군 위의 자동형 표현의 L함수들의 선형 조합으로 표현한다.
• L함수 log L℘(s, ICKV)가 내재된 군 H ∈ EG에 대한 log L(s − d/2, πH,℘, rH)의 합으로 분해되며, 명시적인 계수 cH(πH, rH)를 가짐을 보여준다.
• 논문은 오일러-포앵카르에 함수의 부호 문자 정의에 존재하는 오류를 수정하며, 다면체에서 방향 전환은 항상 홀수 치환과 대응하지 않는다는 것을 보여준다.
• 부록 A.3.14는 (G,H)-정규 원소에 대한 안정된 및 왜곡된 궤도 적분의 매칭이 G-정규 원소에 대한 매칭에 의해 유도됨을 보이며, 기저 전개와 중심자 랭크 고려사항을 통해 이를 증명한다.
• 부록은 두 가지 버전의 왜곡된 전이 인자 간의 불일치를 해결하며, 표준 정의와 캐논ical 정의 간의 호환성을 보이며, [K8]의 부호 오류를 수정한다. 그러나 이 오류는 최종 정리에 영향을 주지 않았다.