[논문 리뷰] On the Complexity of Isomorphism Problems for Tensors, Groups, and Polynomials III: Actions by Classical Groups

Zhili Chen, Joshua A. Grochow외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 05.

Tensor decomposition and applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고전적 군—직교군, 유니터리 군, 심플렉틱 군—에 의한 작용 하에서 3차 텐서의 동형 문제의 계산 복잡도를 조사한다. 직교군과 심플렉틱 군의 경우, 이들 군에 대한 동형 문제는 일반선형군에 대한 동형 문제로 감소됨을 보이며, 직교군과 유니터리 군이 3텐서에 작용하는 다섯 가지 자연스러운 작용들 사이에 다항식 시간 동치성이 존재함을 입증한다. 또한 그래프 동형 문제가 직교군과 유니터리 군에 대한 텐서 동형 문제로 감소됨을 증명한다.

ABSTRACT

We study the complexity of isomorphism problems for d-way arrays, or tensors, under natural actions by classical groups such as orthogonal, unitary, and symplectic groups. Such problems arise naturally in statistical data analysis and quantum information. We study two types of complexity-theoretic questions. First, for a fixed action type (isomorphism, conjugacy, etc.), we relate the complexity of the isomorphism problem over a classical group to that over the general linear group. Second, for a fixed group type (orthogonal, unitary, or symplectic), we compare the complexity of the decision problems for different actions. Our main results are as follows. First, for orthogonal and symplectic groups acting on 3-way arrays, the isomorphism problems reduce to the corresponding problem over the general linear group. Second, for orthogonal and unitary groups, the isomorphism problems of five natural actions on 3-way arrays are polynomial-time equivalent, and the d-tensor isomorphism problem reduces to the 3-tensor isomorphism problem for any fixed d>3. For unitary groups, the preceding result implies that LOCC classification of tripartite quantum states is at least as difficult as LOCC classification of d-partite quantum states for any d. Lastly, we also show that the graph isomorphism problem reduces to the tensor isomorphism problem over orthogonal and unitary groups.

연구 동기 및 목표

• 직교군, 유니터리 군, 심플렉틱 군과 같은 고전적 군의 작용 하에서 텐서의 동형 문제의 계산 복잡도를 이해하는 것.
• 동일한 군 유형에 대해 다양한 작용(예: 코어지류, 동치성) 간의 동형 문제 복잡도를 비교하는 것.
• 고전적 군에 대한 동형 문제의 복잡도를 일반선형군에 대한 복잡도와 연관짓는 것.
• 텐서 동형 문제와 복잡도 이론의 핵심 문제들—예를 들어 그래프 동형 문제와 양자정보 이론에서의 LOCC 분류—간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 다중선형 대수학과 양자 시스템에서의 동형 문제에 대한 통합된 복잡도론적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 군 작용 분석을 통해 고전적 군(직교군, 심플렉틱 군, 유니터리 군)에 대한 동형 문제를 일반선형군에 대한 문제로 감소시키는 것.
• 블록-동형과 연결 블록-동형 기법을 사용하여 텐서 구조를 분해하고 동형 테스트를 단순화하는 것.
• 직합 분해를 유지하는 군 작용 하에서 텐서를 표준형으로 변환하기 위한 다항식 시간 알고리즘의 적용.
• 기존의 TI-완전성 결과를 활용하여 그래프 동형 문제와 LOCC 분류 문제를 고전적 군에 대한 텐서 동형 문제로 감소시키는 것.
• 군 불변성의 제약 조건(예: 직교군의 경우 XtX = I)을 갖는 다항식 방정식 시스템을 풀어 동형 문제를 정의하는 것.
• 실제로 동형 문제를 테스트하기 위해 유한체 위에서 무작위 직교 행렬을 샘플링하기 위해 계산 대수 시스템(Magma 등)을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차 텐서에 대해 직교군과 심플렉틱 군에 대한 동형 문제는 일반선형군에 대한 동형 문제로 감소하는가?
• RQ2 직교군과 유니터리 군이 3차 텐서에 작용하는 다섯 가지 자연스러운 작용들 간에 동형 복잡도 측면에서 다항식 시간 동치성이 있는가?
• RQ3 d > 3 인 경우, 유니터리 또는 직교군 작용 하에서 d-텐서 동형 문제는 3-텐서 동형 문제로 감소할 수 있는가?
• RQ4 d > 3 인 경우, 삼분할 양자 상태의 LOCC 분류 문제는 d-분할 양자 상태의 LOCC 분류 문제보다 적어도 더 어렵거나 같은가?
• RQ5 그래프 동형 문제는 직교군과 유니터리 군에 대한 텐서 동형 문제로 감소하는가?

주요 결과

• 직교군과 심플렉틱 군이 3차 배열에 작용할 경우, 동형 문제는 일반선형군에 대한 해당 문제로 감소된다.
• 직교군과 유니터리 군에 대해, 3차 배열에 대한 다섯 가지 자연스러운 작용은 동형 복잡도 측면에서 다항식 시간 동치이다.
• 고정된 d > 3 에 대해, 유니터리 군 작용 하에서 d-텐서 동형 문제는 3-텐서 동형 문제로 감소된다.
• 유니터리 군 작용 하에서, 삼분할 양자 상태의 LOCC 분류 문제는 임의의 d > 3 에 대해 d-분할 양자 상태의 LOCC 분류 문제보다 적어도 더 어렵거나 같은 복잡도를 가진다.
• 그래프 동형 문제는 직교군과 유니터리 군에 대한 텐서 동형 문제로 감소된다.
• 고전적 군에 대한 동형 문제의 복잡도는 TI-완전성 프레임워크와 밀접하게 연결되어 있으며, 양자정보 및 통계적 데이터 분석 분야에서 실용적 함의를 지닌다.