[논문 리뷰] On the Complexity of Quadratization for Polynomial Differential Equations

Mathieu Hemery, François Fages외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다항 미분방정식(PDE)을 등가의 이차 미분방정정계로 변환하는 '이차화(quadratization)'의 계산 복잡도를 조사한다. 이는 이분자 반응만을 포함하는 화학반응망(CRN)을 모델링하는 데 필수적이다. 연구는 이러한 변환에서 변수 수나 단항식 수를 최소화하는 것이 NP-난이도임을 증명하며, 벤치마크 문제를 효율적으로 해결할 수 있는 MAX-SAT 인코딩을 제안한다. 이는 5차 힐 함수를 위한 최소 7종류의 물질, 11개 반응을 포함하는 CRN를 포함하여 성공적으로 해결한다.

ABSTRACT

Chemical reaction networks (CRNs) are a standard formalism used in chemistry and biology to reason about the dynamics of molecular interaction networks. In their interpretation by ordinary differential equations, CRNs provide a Turing-complete model of analog computattion, in the sense that any computable function over the reals can be computed by a finite number of molecular species with a continuous CRN which approximates the result of that function in one of its components in arbitrary precision. The proof of that result is based on a previous result of Bournez et al. on the Turing-completeness of polyno-mial ordinary differential equations with polynomial initial conditions (PIVP). It uses an encoding of real variables by two non-negative variables for concentrations, and a transformation to an equivalent quadratic PIVP (i.e. with degrees at most 2) for restricting ourselves to at most bimolecular reactions. In this paper, we study the theoretical and practical complexities of the quadratic transformation. We show that both problems of minimizing either the number of variables (i.e., molecular species) or the number of monomials (i.e. elementary reactions) in a quadratic transformation of a PIVP are NP-hard. We present an encoding of those problems in MAX-SAT and show the practical complexity of this algorithm on a benchmark of quadratization problems inspired from CRN design problems.

연구 동기 및 목표

• 고차 다항 미분방정식(PDE)을 등가의 이차 미분방정식계로 변환하는 데 필요한 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 이러한 변환에서 분자의 종류 수나 기본 반응 수를 최소화하는 것이 계산적으로 타당한지 여부를 규명하는 것.
• MAX-SAT 인코딩 기반 최적화 알고리즘 개발 및 평가를 통한 실용적 CRN 설계 방법 개발.
• 자동화된 이차화의 효율성을 알려진 생물학적 네트워크, 예를 들어 MAPK 신호전달 경로와 비교하는 것.
• BioModels 데이터베이스의 실제 모델들에 대한 이 방법의 확장성 평가

제안 방법

• 논문은 주어진 PIVP에 대해 등가의 이차 미분방정식계에서 변수 수(종류) 또는 단항식 수(반응)를 최소화하는 문제로 이차화 문제를 정식화한다.
• 기존의 알려진 NP-완전 문제로부터의 축소를 통해 두 최적화 변형 모두가 NP-난이도임을 증명한다.
• 이차화 문제를 모델링하기 위해 MAX-SAT 인코딩을 제안하며, 이는 상용 SAT 솔버를 활용한 최적화를 가능하게 한다.
• 합성 및 생물학적 미분방정식계를 포함한 20개의 이차화 문제 벤치마크에 대해 알고리즘을 평가한다.
• BioModels의 대규모 모델에 대해서는 검색 공간을 줄이기 위해 고차수 단항식을 잘라내는 방식으로 확장되며, 전체 인스턴스는 여전히 해결 불가능하다.
• 실수값 변수를 비음수 쌍을 통한 변수 치환으로 표현함으로써, 이분자 반응만을 포함하는 CRN에서 튜링 완전성을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PIVP의 이차 변환에서 분자의 종류 수를 최소화하는 것은 계산적으로 타당한가?
• RQ2 이러한 변환에서 단항식 수(기본 반응 수)를 최소화하는 것은 NP-난이도인가?
• RQ3 MAX-SAT 인코딩은 실용적인 이차화 문제를 위한 CRN 설계에 효과적으로 작용하는가?
• RQ4 최소 이차 시스템의 크기는 알려진 생물학적 네트워크, 예를 들어 MAPK 경로와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 BioModels 데이터베이스의 실제 모델에 대해 MAX-SAT 기반 알고리즘의 확장성은 어떠한가?

주요 결과

• PIVP의 이차 변환에서 변수 수나 단항식 수를 최소화하는 것은 NP-난이도이며, 이는 CRN 설계에 있어 근본적인 복잡도 장벽을 설정한다.
• MAX-SAT 인코딩은 20개의 벤치마크 인스턴스 중 19개에서 최적 또는 근사 최적의 이차화를 성공적으로 계산한다. 이는 5차 힐 함수의 경우도 포함된다.
• 5차 힐 함수의 경우, 알고리즘이 최소 7종류의 물질, 11개의 반응을 포함하는 CRN를 생성하며, 종류 수 측면에서 12종류의 물질, 10개의 반응을 포함하는 MAPK 네트워크를 능가한다.
• 해당 방법은 인코딩 크기의 기하급수적 증가로 인해 1시간 이내에 전체 BioModels 인스턴스(예: 모델 123)를 해결하지 못하지만, 잘라내기 기법을 통해 해결 가능한 해를 도출할 수 있다.
• 논문은 최적 해의 크기가 지수적으로 증가할 수 있음을 고려해, 압축된 기호 표현 방식에서는 문제가 NEXP-난이도가 될 것이라 추측한다.
• 본 연구는 이차화가 CRN 기반의 아날로그 계산을 위해 이론적으로 필수적이며, 많은 관련 생물학적 미분방정식에 대해 실용적으로 해결 가능하다는 것을 입증한다.