[논문 리뷰] On the Complexity of Random Quantum Computations and the Jones Polynomial

Ryan L. Mann, Michael J. Bremner|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 양자 계산을 시뮬레이션하는 데 필요한 고전적 복잡도와 존스 다항식 근사화의 평균 복잡도 사이의 직접적인 연결 고리를 설정한다. 다항식 계층이 붕괴하지 않는다는 가정과 상대 오차 근사화가 평균적으로 최악의 경우와 비슷한 난이도를 가진다는 가정 하에, 저자들은 랜덤 양자 회로의 고전적 시뮬레이션은 총 변동 거리 상수 범위 내에서 불가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

There is a natural relationship between Jones polynomials and quantum computation. We use this relationship to show that the complexity of evaluating relative-error approximations of Jones polynomials can be used to bound the classical complexity of approximately simulating random quantum computations. We prove that random quantum computations cannot be classically simulated up to a constant total variation distance, under the assumption that (1) the Polynomial Hierarchy does not collapse and (2) the average-case complexity of relative-error approximations of the Jones polynomial matches the worst-case complexity over a constant fraction of random links. Our results provide a straightforward relationship between the approximation of Jones polynomials and the complexity of random quantum computations.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 양자 계산을 시뮬레이션하는 데 필요한 고전적 복잡도와 존스 다항식 근사화의 평균 복잡도 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 상대 오차 근사화가 평균적으로 최악의 경우와 비슷한 난이도를 가진다는 가정이 복잡도 한계에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 이전에 결정잔과 기타 난이도 높은 함수에 기반한 기존의 양자 우월성 논증을 존스 다항식으로 확장하여, 양자 계산 우월성의 새로운 후보로 삼는 것.
• 표준 복잡도 이론적 추측을 가정할 때, 랜덤 양자 회로의 고전적 시뮬레이션은 총 변동 거리 상수 범위 내에서 불가능하다는 형식적 증명을 제공하는 것.
• 근사 단위행렬 설계와 반집중 경계를 활용하여, 존스 다항식을 이용한 양자 우월성 논증의 복잡도 이론적 근거를 강화하는 것.

제안 방법

• 존스 다항식의 알려진 양자계산 유일성(quantum-computational universality)을 활용하여, 그 근사화 복잡도를 양자 회로 샘플링 문제와 연결한다.
• Stockmeyer의 수세기 정리(Counting Theorem)를 적용하여, NP 및 FBPP 클래스에 접근 가능할 때 상대 오차 범위 내에서 존스 다항식을 근사한다.
• 근사 단위행렬 t-설계(t ≥ 2)를 사용하여 랜덤 양자 회로를 모델링하고, 행렬 원소에 대한 반집중 경계를 유도한다.
• Paley-Zygmund 부등식을 사용하여, 랜덤 유니터리의 행렬 원소가 임계값을 초과할 확률을 근사 설계 조건에 기반해 경계한다.
• 반집중 경계와 다항식 계층 내 근사 수세기의 조합을 통해, 고전적 시뮬레이션이 다항식 계층 붕괴를 암시한다는 것을 보인다.
• 평균 복잡도가 상대 오차 존스 다항식 근사화의 최악의 경우 복잡도와 일치한다는 추측(Conjecture 1)을 기반으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 양자 회로의 고전적 시뮬레이션 복잡도를, 존스 다항식 근사화의 평균 복잡도를 사용하여 한정시킬 수 있는가?
• RQ2 존스 다항식의 상대 오차 근사화의 평균 복잡도가 최악의 경우 복잡도와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 존스 다항식 근사화의 난이도가 랜덤 양자 회로의 고전적 시뮬레이션을 총 변동 거리 상수 범위 내에서 불가능하게 만드는가?
• RQ4 근사 단위행렬 설계와 행렬 원소의 반집중 성질이 존스 다항식 기반 양자 우월성 논증을 어떻게 뒷받침하는가?
• RQ5 다항식 계층은 어떻게 랜덤 양자 회로의 효율적 고전적 시뮬레이션을 배제하는가? 이는 존스 다항식 근사화를 통해 이루어진다.

주요 결과

• 다항식 계층이 붕괴하지 않는다는 가정 하에, 총 변동 거리 상수 범위 내에서 랜덤 양자 회로의 고전적 시뮬레이션은 불가능하다.
• 논문은 상대 오차 근사화가 평균적으로 최악의 경우와 비슷한 난이도를 가진다는 가정(가설 1)이 성립할 경우, 랜덤 양자 회로의 고전적 시뮬레이션이 고전적으로 비가능하다는 것을 증명한다.
• 저자들은 ε-근사 t-설계(여기서 t ≥ 2)에서 유도된 유니터리 행렬이 반집중 경계를 만족함을 확립한다: |⟨α|U|β⟩|²가 γ/d를 초과할 확률은 0 ≤ γ ≤ 1−ε일 때 최소 (1−ε−γ)²/(2(1+ε)) 이상이다.
• Stockmeyer의 수세기 정리를 사용하여, 다항식 n에 대해 상대 오차 근사가 FBPP^NP^C 내에서 달성 가능함을 보여주며, 이는 다항식 오차 범위 내에서 고전적 근사화를 가능하게 한다.
• 이 증명은 반집중과 근사 수세기를 결합하여, 랜덤 양자 회로의 출력 분포와 이상적 분포 사이의 l1 거리를 경계함으로써 기반한다.
• 이 결과는 결정잔과 기타 수세기 문제를 넘어서, 존스 다항식으로의 양자 우월성 논증 프레임워크를 확장하여, 양자 우월성 증거가 될 수 있는 함수의 범주를 넓힌다.