[논문 리뷰] On the Complexity of the Circular Chromatic Number

Hamed Hatami, Ruzbeh Tusserkani|ArXiv.org|2006. 12. 31.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 원형 색수의 계산 복잡도를 규명하며, 색수 $\chi(G)$ 가 알려져 있을 때 $\chi_c(G) = \chi(G)$ 인지 여부를 판단하는 것이 NP-난이도임을 증명한다. 또한, 모든 $k \geq 2$ 및 $n \geq 3$ 에 대해 $\chi(G) = n$ 인 경우 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 를 검증하는 것은 NP-완전임을 보이며, 저자 Xuding Zhu 가 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Circular chromatic number, $χ_c$ is a natural generalization of chromatic number. It is known that it is \NP-hard to determine whether or not an arbitrary graph $G$ satisfies $χ(G) = χ_c(G)$. In this paper we prove that this problem is \NP-hard even if the chromatic number of the graph is known. This answers a question of Xuding Zhu. Also we prove that for all positive integers $k \ge 2$ and $n \ge 3$, for a given graph $G$ with $χ(G)=n$, it is \NP-complete to verify if $χ_c(G) \le n- \frac{1}{k}$.

연구 동기 및 목표

• 색수 $\chi(G)$ 가 알려져 있을 때 원형 색수 $\chi_c(G)$ 가 색수와 같은지 여부를 판단하는 문제의 복잡도를 규명하는 것.
• 원형 색수의 상한이 색수에 비해 얼마나 계산적으로 어려운지 조사하는 것.
• $\chi(G) = n$ 과 $k \geq 2$ 인 그래프에 대해 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 인지 확인하는 문제의 NP-완전성을 확립하는 것.
• 특정 부분그래프를 사용한 그래프 치환을 통해 색칠 조건을 인코딩하는 감소 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 각 간선을 전용 그래프 $H$ 의 복사본으로 치환하여 그래프 $G$ 를 구성함으로써, 관련 방향 그래프 $D_c$ 가 특정 색칠 조건 하에서만 비순환성을 가지도록 보장한다.
• 레미마 2 를 사용하여 $D_c(H)$ 가 비순환임은 $\{0,1,2\}$ 에서 끝점이 서로 다른 색을 가져야 함을 보이며, 3색칠 문제로의 감소를 가능하게 한다.
• $a$ 와 $b$ 라는 두 지정 정점의 색상이 다를 때에만 존재하는 $(kn-1,k)$-색칠 성질을 가진 그래프 $K$ 를 정의한다.
• $G' \sqcup K_n$ 의 간선들을 $K$ 의 복사본으로 치환하여 $G$ 를 구성함으로써 $\chi(G) = n$ 이며, $(kn-1,k)$-색칠의 존재성이 $G'$ 의 $kn-1$-색칠 가능성과 연결되도록 한다.
• 레미마 A 를 사용하여 $D_c(G)$ 의 비순환성과 $\chi_c(G) < p/q$ 의 등가성을 연결함으로써 원형 색수 상한으로의 감소를 가능하게 한다.
• 정리 A (3색칠 대비 5색칠의 NP-난이도) 를 적용하여 결정 문제의 NP-난이도를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 색수 $\chi(G)$ 가 주어졌을 때 $\chi_c(G) = \chi(G)$ 인지 여부를 판단하는 것은 NP-난이도인가?
• RQ2 고정된 $n \geq 3$ 에 대해, $\chi(G) = n$ 과 $k \geq 2$ 인 그래프에 대해 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 인지 판단하는 것은 NP-완전인가?
• RQ3 원형 색수를 다항시간 내에 색수에 대해 날카롭게 유계화할 수 있는가?
• RQ4 색칠 방향그래프 $D_c$ 의 어떤 구조적 성질이 $\chi_c(G) < p/q$ 인지를 결정하는가?

주요 결과

• 색수 $\chi(G)$ 가 알려져 있을 때도 원형 색수 $\chi_c(G)$ 가 색수와 같은지 여부를 판단하는 문제는 NP-난이도임을 증명하며, Xuding Zhu 가 제기한 질문에 답한다.
• 모든 정수 $k \geq 2$ 와 $n \geq 3$ 에 대해, $\chi(G) = n$ 인 경우 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 를 검증하는 것은 NP-완전하다.
• $G'$ 의 간선들을 $H$ 의 복사본으로 치환하여 구성된 그래프 $G$ 는 $\chi_c(G) < 4$ 를 만족함과 동시에 $G'$ 가 3색칠 가능할 때에만 성립한다.
• 구성된 그래프 $G$ 에 대한 $(kn-1,k)$-색칠의 존재성은 $\chi_c(G) \leq n - \frac{1}{k}$ 와 동치이며, 이 조건은 $G'$ 의 $kn-1$-색칠 가능성과 연결되어 있다.
• 구성 과정에서 사용된 그래프 $K$ 는 $c(a) \neq c(b)$ 라면 $(kn-1,k)$-색칠이 존재하며, 이는 감소에 필수적이다.
• $(p,q)$-색칠 $c$ 에 대해 $D_c(G)$ 의 비순환성은 $\chi_c(G) < p/q$ 와 동치이며, 이는 원형 색수를 특성화하는 데 사용된다.