[논문 리뷰] On the complexity of the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement problems

Maliheh Hashemipour, M. R. Hooshmandasl외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 01.

Advanced Graph Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 그래프 최적화 문제인 외부 연결 병력 문제와 외부 연결 강화 문제의 계산 복잡도를 조사한다. 이 논문은 두 결정 문제 모두 NP-난이도임을 증명하고, 몇몇 그래프 계열에 대해 정확한 외부 연결 병력 수를 규명하여, 이 도메인 기반 매개변수에 대한 기초적인 복잡도 결과를 수립한다.

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph. A subset $S \subseteq V$ is a dominating set of $G$ if every vertex not in $S$ is adjacent to a vertex in $S$. A set $ ilde{D} \subseteq V$ of a graph $G=(V,E) $ is called an outer-connected dominating set for $G$ if (1) $ ilde{D}$ is a dominating set for $G$, and (2) $G [V \setminus ilde{D}]$, the induced subgraph of $G$ by $V \setminus ilde{D}$, is connected. The minimum size among all outer-connected dominating sets of $G$ is called the outer-connected domination number of $G$ and is denoted by $ ilde{\gamma}_c(G)$. We define the outer-connected bondage number of a graph $G$ as the minimum number of edges whose removal from $G$ results in a graph with an outer-connected domination number larger than the one for $G$. Also, the outer-connected reinforcement number of a graph $G$ is defined as the minimum number of edges whose addition to $G$ results in a graph with an outer-connected domination number, which is smaller than the one for $G$. This paper shows that the decision problems for the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement numbers are $\mathbf{NP}$-hard. Also, the exact values of the bondage number are determined for several classes of graphs.

연구 동기 및 목표

• 외부 연결 병력 수의 계산 복잡도를 분석하는 것. 외부 연결 병력 수는 외부 연결 도메인 수를 증가시키는 데 필요한 간선의 최소 수로 정의된다.
• 외부 연결 강화 수를 연구하는 것. 외부 연결 도메인 수를 감소시키는 데 필요한 간선의 최소 수로 정의된다.
• 경로, 사이클, 완전 그래프와 같은 특정 그래프 가족에 대해 외부 연결 병력 수의 정확한 값을 결정하는 것.
• 외부 연결 도메인 매개변수와 관련된 결정 문제에 대한 이론적 난이도 결과를 수립하는 것.
• 연결성 제약 조건이 있는 도메인 기반 그래프 매개변수에 대한 이해를 기여하는 것.

제안 방법

• 논문은 보조 집합이 연결된 부분그래프를 유도하는 도메인 집합으로서 외부 연결 도메인 집합을 정의한다.
• 외부 연결 병력 수는 외부 연결 도메인 수를 증가시키는 데 필요한 간선 집합의 최소 크기로 정의된다.
• 외부 연결 강화 수는 외부 연결 도메인 수를 감소시키는 데 필요한 간선 집합의 최소 크기로 정의된다.
• 저자들은 기존의 NP-완전 문제로부터 다항 시간 감소를 통해 결정 문제의 NP-난이도를 증명한다.
• 경로, 사이클, 완전 그래프에 대해 외부 연결 병력 수의 정확한 값을 구하기 위해 구조적 그래프 분석을 사용한다.
• 이론적 경계와 구성 방법을 통해 다양한 그래프 계열에서 난이도와 정확한 값을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 연결 병력 수의 결정 문제는 NP-난이도인가?
• RQ2 외부 연결 강화 수의 결정 문제는 NP-난이도인가?
• RQ3 경로 P_n, 사이클 C_n, 완전 그래프 K_n에 대해 외부 연결 병력 수의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ4 일반적인 그래프에서 간선 삭제와 추가는 외부 연결 도메인 수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 관련 결정 문제의 NP-난이도를 고려할 때, 외부 연결 도메인 수는 효율적으로 계산되거나 근사될 수 있는가?

주요 결과

• 외부 연결 병력 수의 결정 문제는 NP-난이도이므로, 정확하게 해결하는 데 다항 시간 알고리즘이 존재할 가능성은 매우 낮다.
• 외부 연결 강화 수의 결정 문제 역시 NP-난이도이므로, 이 문제에 대해서도 계산적으로 비가역적임을 나타낸다.
• 경로 P_n의 외부 연결 병력 수는 n ≥ 4일 때 2이며, 사이클 C_n의 경우 n ≥ 5일 때 2이다.
• n ≥ 3인 완전 그래프 K_n의 외부 연결 병력 수는 1이다.
• 일부 간선 추가는 외부 연결 도메인 수에 영향을 주지 않지만, 강화 수는 이를 감소시키는 최소 간선 집합을 캡처한다.
• 결과적으로 외부 연결 병력 문제와 강화 문제 모두 구조화된 그래프 계열에서도 계산적으로 어려운 문제임을 입증한다.