[논문 리뷰] On the computation of Galois representations associated to level one modular forms

Johan Bosman|ArXiv.org|2007. 10. 05.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 13인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 무게가 22 이하이고 소수 레벨 $\ell \leq 23$인 레벨 1의 모듈러 형식에 관련된 모듈로 $\mu$에 대한 사영적 갈루아 표현을 계산하며, 이 표현들의 사영적 이미지 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_\ell)$를 실현하는 명시적 다항식을 통해 제시한다. 주요 기여는 $n < 2.28 \times 10^{19}$까지 레이머의 추측(람누잔의 $\tau(n)$의 영이 아님)을 검증한 것으로, 이는 이전의 기준을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper we explicitly compute mod-l Galois representations associated to modular forms. To be precise, we look at cases with l&lt;=23 and the modular forms considered will be cusp forms of level 1 and weight up to 22. We present the result in terms of polynomials associated to the projectivised representations. As an application, we will improve a known result on Lehmer's non-vanishing conjecture for Ramanujan's tau function.

연구 동기 및 목표

• 레벨 1이고 무게 $k \leq 22$인 정규화된 촘푸 형식 $\Delta_k$에 관련된 사영적 갈루아 표현을 나타내는 명시적 다항식을 계산하는 것.
• 이전의 기준을 초월하여 레이머의 추측, 즉 람누잔의 $\tau(n)$의 영이 아님을 검증하는 것을 확장하는 것.
• 사영적 이미지 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_\ell)$의 분해체를 가지는 다항식을 구성함으로써 세르의 모듈라리티 추측에 대한 계산적 증거를 제공하는 것.
• 특수 표현이 아닌 경우를 다루기 위해 특히 $\ell = 23$에 대해 제약군 $J_1(\ell)$ 내의 계산 방법을 활용하는 것.

제안 방법

• 저자는 정규화된 촘푸 형식 $\Delta_k$에 관련된 사영적 갈루아 표현 $\tilde{\rho}_{\Delta_k,\ell}$를 계산하며, $\ker \tilde{\rho}_{\Delta_k,\ell}$의 고정체를 실현하는 다항식 $P_{k,\ell}$의 분해체를 결정함으로써 이를 수행한다.
• 다항식 $P_{k,\ell}$는 계산 대수 시스템을 사용하여 구성되며, 그들의 분해체가 이미지 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_\ell)$를 실현한다는 사실을 활용한다.
• 검증을 위해, $\mathbb{F}_p$ 위에서 $P_{k,\ell}$가 차수 2의 기약 인수를 가지는지 확인함으로써, 이는 $\operatorname{trace}(\operatorname{Frob}_p) \equiv \tau_k(p) \mod \ell$에 해당하는 프로베누스 원소를 의미한다.
• 이 방법은 세르의 모듈라리티 기준을 적용하여 $\tau_k(p) \equiv 0 \mod \ell$를 만족하는 소수 $p$를 식별하고, 이를 통해 $\tau(n)$의 영이 아님 기준을 연장한다.
• 특수 케이스인 $\ell = k - 1$의 경우, 표현은 타원곡선의 $\ell$- torsion으로 실현되며, 분할 다항식을 사용하여 그 구조를 검증한다.
• 계산은 수체와 유한체 산술을 통한 실험적 탐색과 검증에 기반하며, 특히 $\mathbb{F}_p[x]/(P_{k,\ell})$에서 $x^{p^2} \equiv x$ 이고 $x^p \not\equiv x$ 임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레벨 1의 모듈러 형식에 대해 무게 $k \leq 22$ 및 $\ell \leq 23$일 때, 사영적 갈루아 표현을 실현하는 명시적 다항식은 무엇인가?
• RQ2 이 갈루아 표현을 통해 $\tau(n)$의 영이 아님을 이전의 계산 기준을 초월하여 어떻게 검증할 수 있는가?
• RQ3 다음 조건을 모두 만족하는 소수 $p$는 무엇인가? $\tau(p) \equiv 0 \mod 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$ 이며, $\ell$-adic 표현에 대해 세르의 모듈라리티 기준을 충족한다.
• RQ4 다항식을 통해 사영적 이미지 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_\ell)$가 얼마나 잘 실현될 수 있는가?
• RQ5 특히 $\ell = 23$일 때, $J_1(\ell)$ 내의 계산 방법을 사용하여 이러한 갈루아 표현을 구성하고 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $(k,\ell)$ 쌍에 대해 $k \in \{12,16,18,20,22\}$ 이고 $\ell \leq 23$일 때, 차수 $\ell + 1$인 명시적 다항식 $P_{k,\ell}$를 제공하며, 이들의 분해체는 사영적 이미지 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_\ell)$를 실현한다.
• $\tau(n)$의 영이 아님은 $n < 22,798,241,520,242,687,999 \approx 2.28 \times 10^{19}$까지 검증되었으며, 이는 이전 기준인 $2 \times 10^{16}$을 크게 향상시킨다.
• 세르의 기준과 $\tau(p) \equiv 0 \mod 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$를 동시에 만족하는 첫 번째 소수는 $22,798,241,520,242,687,999$, $60,707,199,950,936,063,999$, 그리고 $93,433,753,964,906,495,999$로 확인되었으며, 이는 기준 연장의 확인을 제공한다.
• $\ell = 23$일 때, 제약군 $J_1(23)$의 차원은 12이며, 이 방법은 다항식 불변량을 통해 관련 갈루아 표현을 성공적으로 계산하였다.
• 이 방법은 사영적 표현 $\tilde{\rho}_{\Delta_k,\ell}$가 기약적임을 확인하였고, 그 이미지가 세르 추측이 요구하는 바인 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_\ell)$임을 확인하였다.
• 모든 $k \in \{12,16,18,20,22\}$ 및 $\ell \leq 23$에 대해 다항식 $P_{k,\ell}$가 명시적으로 표로 제시되었으며, 이는 향후 모-$\ell$ 갈루아 표현 연구를 위한 계산 도구를 제공한다.