[논문 리뷰] On the Computation of Optimal Control Problems with Terminal Inequality Constraint via Variation Evolution

Sheng Zhang, Yan-Qing Chenq외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 21.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최종 불등식 제약 조건을 가진 최적 제어 문제를 해결하기 위해 변형 진화 방법(VEM)을 제안한다. 이는 진화 편미분방정식(EPDE)을 통해 비비용 상태 최적성 조건을 유도함으로써 비비용 상태 최적성 조건을 도출한다. 또한 급격한 제약 조건 활성화로 인한 오차를 줄이기 위해 수치적 소프트 장벽을 도입하여, 표준 ODE 적분 방법을 통해 변환된 초기값 문제를 효과적으로 해결함을 보여준다.

ABSTRACT

Studies regarding the computation of Optimal Control Problems (OCPs) with terminal inequality constraint, under the frame of the Variation Evolving Method (VEM), are carried out. The attributes of equality constraints and inequality constraints in the generalized optimization problem is traversed, and the intrinsic relations to the multipliers are uncovered. Upon these preliminaries, the right Evolution Partial Differential Equation (EPDE) is derived, and the costate-free optimality conditions are established. Besides the analytic expression for the costates in the classic treatment, they also reveal the analytic relations between the states, the controls and the (Lagrange and KKT) multipliers, which adjoin the terminal (equality and inequality) constraints. Moreover, in solving the transformed Initial-value Problems (IVPs) with common Ordinary Differential Equation (ODE) integration methods, the numerical soft barrier is proposed to eliminate the numerical error resulting from the suddenly triggered inequality constraint and it is shown to be effective.

연구 동기 및 목표

• 최종 불등식 제약 조건을 수반하는 최적 제어 문제(OCPs)의 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 적절한 진화 편미분방정식(EPDE)을 유도함으로써 비비용 상태 최적성 조건을 수립하기 위해.
• 최종 제약 조건과 관련된 상태, 제어, 라그랑주/카우흐만-쿠른-타커(KKT) 승수 간의 내재적 관계를 밝혀내기 위해.
• 불등식 제약 조건의 급격한 활성화로 인한 오차를 줄이기 위한 수치적 소프트 장벽을 개발하기 위해.
• 표준 ODE 해법기를 사용하여 변환된 초기값 문제를 효율적으로 해결할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 최적화 문제의 등식 및 불등식 제약 조건을 바탕으로 진화 편미분방정식(EPDE)을 유도하기 위해.
• 상태, 제어, 승수(Lagrange 및 KKT) 간의 내재적 관계를 분석함으로써 비비용 상태 최적성 조건을 수립하기 위해.
• 기존 최적 제어 문제를 표준 ODE 적분 방법에 적합한 초깃값 문제(IVP)로 변환하기 위해.
• 불등식 제약 조건의 급격한 활성화로 인한 수치 오차를 억제하기 위해 수치적 소프트 장벽 메커니즘을 도입하기 위해.
• 등식 및 불등식 제약 조건을 모두 체계적으로 다룰 수 있도록 변형 진화 방법(VEM) 프레임워크를 활용하기 위해.
• 변환된 IVP를 표준 ODE 적분 기법을 사용하여 해석함으로써 수치적 안정성을 향상시키기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최종 불등식 제약 조건이 있는 최적 제어 문제는 어떻게 재구성되어야 하며, 이를 통해 비용 상태의 직접 계산을 피할 수 있는가?
• RQ2 최종 불등식 제약 조건이 존재할 경우 상태, 제어, 승수 간의 분석적 관계는 어떠한가?
• RQ3 ODE 적분 과정에서 불등식 제약 조건의 급격한 활성화로 인한 수치적 불안정성은 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ4 이러한 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에서 변형 진화 과정을 지배하는 진화 편미분방정식(EPDE)의 구조는 어떠한가?
• RQ5 제안된 방법은 비용 상태 추적 없이도 표준 ODE 해법기를 사용하여 신뢰성 있고 정확한 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 최종 제약 조건에 대해 상태, 제어, 승수 간의 분석적 관계를 수립함으로써 비비용 상태 최적성 조건을 성공적으로 도출하였다.
• 진화 편미분방정식(EPDE)은 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에서 변형 진화 과정을 지배하는 해석 방정정식으로 도출되었다.
• 수치적 소프트 장벽은 ODE 적분 과정에서 불등식 제약 조건의 급격한 활성화로 인한 오차를 효과적으로 감소시켰다.
• 변환된 초깃값 문제들은 표준 ODE 적분 방법을 통해 정확하게 해결되었으며, 이는 방법의 수치적 안정성을 확인하는 데 기여하였다.
• 이 방법은 비용 상태 계산 없이도 최종 등식 및 불등식 제약 조건을 효과적으로 처리할 수 있음을 보여주었다.
• 이 방법은 이전 연구들(arXiv:1801.01383, arXiv:1712.09702 등)과 상당한 중첩을 보이며, 일관되고 확장 가능한 프레임워크임을 시사한다.