[논문 리뷰] On the Computation of $\pi$-Flat Outputs for Linear Time-Delay Systems

Vincent Morio, Franck Cazaurang외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 19.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식 행렬 대수를 사용하여 선형 시간변화 지연 시스템에서 π-평탄 출력을 선형 시간 내에 계산하는 구축 가능한 알고리즘을 제시한다. 체 𝕂(δ)[d/dt]로 시스템 환을 확장하고 Smith-Jacobson 분해를 적용함으로써, 시스템 행렬의 초정규성에 의해 π-평탄성을 특성화하며, 유니모듈라 변환과 행렬 대각화를 통해 평탄 출력의 체계적 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper deals with linear time-varying, delay systems. Extensions of the concept of differential flatness \\cite{Fliess_95} to this context have been first proposed in \\cite{Mounier_95,Fliess_96} (see also \\cite{Rudolph_03,Chyzak_05}), by the introduction of $\\pi$-flat output. Roughly speaking, it means that every system variable may be expressed as a function of a particular output $y$, a finite number of its time derivatives, time delays, and predictions, the latter resulting from the prediction operator $\\pi^{-1}$. We propose a simple and constructive algorithm for the computation of $\\pi$-flat outputs based on concepts of polynomial algebra, in particular Smith-Jacobson decomposition of polynomial matrices. Some examples are provided to illustrate the proposed methodology.

연구 동기 및 목표

• 선형 시간변화 지연 시스템에 대한 π-평탄성의 구축 가능한 특성화를 제공한다.
• 대수적 행렬 분해를 기반으로 한 π-평탄 출력 계산을 위한 알고리즘을 개발한다.
• 기존 평탄성 이론을 시간 지연과 유리형 시간변화 계수를 갖는 시스템으로 확장한다.
• 기본 컴퓨터 대수 도구를 사용하여 평탄 출력의 실용적 계산을 가능하게 한다.

제안 방법

• 시스템은 계수들이 환 𝕂[δ, d/dt]에 속하는 Ax = Bu로 모델링되며, 여기서 δ는 지연 연산자이고 d/dt는 시간 미분이다.
• Smith-Jacobson 분해를 적용할 수 있도록 환을 주기적 아이디얼 도메인인 𝕂(δ)[d/dt]로 확장한다.
• Smith-Jacobson 분해를 통해 시스템 행렬을 불변 요소를 갖는 형태로 대각화함으로써 자유 모듈의 식별이 가능해진다.
• 유니모듈라 변환을 사용하여 시스템을 모듈 구조를 유지하는 표준형으로 감소시킨다.
• 결과를 다항식 π ∈ 𝕂[δ]의 거듭제곱에서 국소화하여 예측과 지연의 잘 정의됨을 보장한다.
• 평탄 출력은 시스템 변수가 생성하는 자유 모듈의 기저로서, 대각화된 행렬에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간변화 계수를 갖는 선형 시간지연 시스템에 대해 π-평탄성은 어떻게 대수적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 시스템 행렬에 어떤 조건이 성립하면 π-평탄 출력이 존재하는가?
• RQ3 기본 대수 도구를 사용하여 π-평탄 출력을 어떻게 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 Smith-Jacobson 분해는 π-평탄 출력 계산에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 체 𝕂(δ)로의 확장은 평탄 출력의 효과적 계산를 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• π-평탄성은 확장된 환 𝕂(δ)[d/dt]에서 시스템 행렬의 초정규성에 의해 특성화된다.
• 제안된 알고리즘은 Smith-Jacobson 분해에서 유도된 유니모듈라 변환의 순서를 통해 π-평탄 출력을 계산한다.
• 이 방법은 다항식 또는 상수 계수에 국한된 이전 결과를 초월하여 유리형 시간변화 계수를 갖는 시스템에 적용 가능하다.
• 평탄 출력의 계산은 복잡한 그레브너 기저 기법을 피하기 위해 오직 더 큰 환 𝕂(δ)[d/dt] 위에서의 연산에 의존한다.
• 이 방법은 평탄 출력과 그 시간 도함수 및 지연에 대한 모든 시스템 변수의 명시적 매개변수화를 가능하게 한다.
• 다중 지연을 갖는 시스템으로의 일반화가 가능하며, 진동하는 끈 모델을 통해 이를 검증하였다.