[논문 리뷰] On the Conditional Distribution of the Multivariate $t$ Distribution

Peng Ding|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 02.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 잠재적 척도 변수 q를 사용한 정규 혼합 표현을 통해 다변량 t-분포의 조건부 분포가 자체적으로 다변량 t-분포임을 투명하고 직관적으로 증명한다. X₁를 조건으로 하였을 때 X₂는 위치, 척도가 갱신되고 자유도 ν + p₁로 증가한 다변량 t-분포를 따른다.

ABSTRACT

As alternatives to the normal distributions, $t$ distributions are widely applied in robust analysis for data with outliers or heavy tails. The properties of the multivariate $t$ distribution are well documented in Kotz and Nadarajah's book, which, however, states a wrong conclusion about the conditional distribution of the multivariate $t$ distribution. Previous literature has recognized that the conditional distribution of the multivariate $t$ distribution also follows the multivariate $t$ distribution. We provide an intuitive proof without directly manipulating the complicated density function of the multivariate $t$ distribution.

연구 동기 및 목표

• 다변량 t-분포의 조건부 분포가 t-분포가 아니라는 오랫동안 지속된 문헌의 오해를 바로잡는 것.
• 복잡한 밀도 변환에 의존하지 않고도 조건부 분포 성질에 대한 명확하고 직관적인 증명을 제공하는 것.
• 조건부 분포가 위치, 척도, 자유도가 갱신된 형태로 여전히 t-분포 형태를 유지함을 보여주는 것.
• 특히 꼬리가 두꺼운 데이터를 포함하는 계층적 및 베이지안 프레임워크에서의 강건한 통계 모델링에 대한 함의를 부각하는 것.

제안 방법

• 다변량 t-분포를 표현하기 위해 X = μ + Σ¹ᐟ²Z / √q 를 사용하며, 여기서 Z ~ N(0, I) 이고 q ~ χ²(ν)/ν 이다.
• 잠재 변수 q를 조건으로 하여 X₂의 조건부 분포를 유도하며, 다변량 정규분포의 성질을 활용한다.
• 자료 증강 프레임워크를 통해 X₁를 조건으로 하였을 때 q의 조건부 분포를 통합함으로써 전체 확률의 법칙을 적용한다.
• 재매개변수화 및 척도 조정을 통해 유도된 형태가 다변량 t-분포임을 인지함으로써 최종 조건부 분포를 유도한다.
• 표준화 잔차가 X₁와 독립임을 보여주는 스케일링 인자 √((ν + p₁)/(ν + d₁)) 를 도입하여 핵심적인 구조적 성질을 드러낸다.
• 조건부 분산-공분산 행렬을 표현하기 위해 셸러 보조행렬 Σ₂₂|₁ 를 사용하여 올바른 공분산 구조를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kotz와 Nadarajah(2004)의 주장과는 반대로, 다변량 t-분포의 조건부 분포도 다변량 t-분포인가?
• RQ2 복잡한 다변량 t-밀도 함수의 직접적 변환 없이도 조건부 분포를 유도할 수 있는가?
• RQ3 조건부 분포의 갱신된 매개변수(위치, 척도, 자유도)는 무엇인가?
• RQ4 조건부 분포에서 X₁와 변환된 잔차 사이에 독립성이 존재하는가? 만약 존재한다면 어떤 조건에서인가?
• RQ5 조건부 분포의 꼬리 행동은 원래 분포와 비교해 어떻게 되는가? 특히 자유도 측면에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• X₁를 조건으로 하였을 때 X₂의 조건부 분포는 위치 매개변수 μ₂|₁ = μ₂ + Σ₂₁Σ₁₁⁻¹(X₁ − μ₁) 를 갖는 다변량 t-분포이다.
• 조건부 분포의 척도 행렬은 (ν + d₁)/(ν + p₁) 의 인자로 스케일링된다. 여기서 d₁ = (X₁ − μ₁)ᵀΣ₁₁⁻¹(X₁ − μ₁) 이다.
• 조건부 분포의 자유도는 ν 에서 ν + p₁ 으로 증가하여 꼬리의 두께가 감소한다.
• 표준화 잔차 √((ν + p₁)/(ν + d₁))(X₂ − μ₂|₁) 는 X₁를 조건으로 하였을 때 위치 0, 척도 행렬 Σ₂₂|₁, 자유도 ν + p₁ 인 다변량 t-분포를 따른다.
• X₁ 와 변환된 잔차 √((ν + p₁)/(ν + d₁))(X₂ − μ₂|₁) 는 서로 독립이며, 이는 원래의 다변량 t-분포에서는 즉각적으로 명백하지 않은 성질이다.
• ν = 1일 때(다변량 코시 분포일 때), 주변 평균은 존재하지 않지만, 조건부 분포에서 자유도가 증가하므로 조건부 평균은 존재한다.