[논문 리뷰] On the Configuration-LP for Scheduling on Unrelated Machines

José Verschae, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 01.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 18인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비동일 기계에서의 스케줄링을 위한 구성-LP의 정수성 간극을 조사하며, 비동일 그래프 균형 문제에 대해 이 간극이 2임을 증명한다—제한된 할당 케이스와의 주요 차이점은 제한된 할당의 경우 간극이 최대 33/17이지만 비동일 그래프 균형 문제에서는 2임을 시사한다. 또한 MaxMin-균형 문제에 대해 순수 조합적 2-근사 알고리즘을 제시하여 기존의 LP 기반 방법보다 향상되었으며, 기존에 알려진 최적의 근사 인자와 일치한다.

ABSTRACT

One of the most important open problems in machine scheduling is the problem of scheduling a set of jobs on unrelated machines to minimize the makespan. The best known approximation algorithm for this problem guarantees an approximation factor of 2. It is known to be NP-hard to approximate with a better ratio than 3/2. Closing this gap has been open for over 20 years. The best known approximation factors are achieved by LP-based algorithms. The strongest known linear program formulation for the problem is the configuration-LP. We show that the configuration-LP has an integrality gap of 2 even for the special case of unrelated graph balancing, where each job can be assigned to at most two machines. In particular, our result implies that a large family of cuts does not help to diminish the integrality gap of the canonical assignment-LP. Also, we present cases of the problem which can be approximated with a better factor than 2. They constitute valuable insights for constructing an NP-hardness reduction which improves the known lowerbound. Very recently Svensson [22] studied the restricted assignment case, where each job can only be assigned to a given set of machines on which it has the same processing time. He shows that in this setting the configuration-LP has an integrality gap of 33/17≈1.94. Hence, our result imply that the unrelated graph balancing case is significantly more complex than the restricted assignment case. Then we turn to another objective function: maximizing the minimum machine load. For the case that every job can be assigned to at most two machines we give a purely combinatorial 2-approximation which is best possible, unless P=NP. This improves on the computationally costly LP-based (2 +ε)-approximation algorithm by Chakrabarty et al. [7].

연구 동기 및 목표

• 비동일 그래프 균형 문제에 대한 구성-LP의 정수성 간극을 규명하는 것.
• 비동일 그래프 균형 문제의 복잡도를 제한된 할당 케이스와 비교하는 것.
• MaxMin-균형 문제에 대해 더 나은 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 개선된 근사 인자를 달성할 수 있는 다루기 쉬운 특수 케이스를 탐색하는 것.

제안 방법

• 구성-LP가 비동일 그래프 균형 문제에 대해 정수성 간극 2를 가짐을 증명하기 위해, LP 해가 최적의 정수 해의 절반에 불과한 인스턴스의 가족을 구성함으로써 증명한다.
• 특정 기계에 할당되어야 하는 작업을 고정하기 위해 사전 할당 단계를 도입하고, 두 대의 기계에 할당 가능한 작업들로부터 유도된 이분 그래프의 정점 색칠 기반으로 MaxMin-균형 문제에 대한 순수 조합적 2-근사 알고리즘을 제시한다.
• 목표 부하 T를 충족시키기 위해 특정 기계에 할당되어야 하는 작업들을 고정하기 위해 사전 할당 단계를 활용한다.
• 작업들이 두 대의 기계에 할당 가능한 경우 또는 동일한 기계에 연속적으로 할당 가능한 경우를 연결하는 간선을 포함하는 그래프를 구성하여, 이분 그래프를 형성한다.
• 그래프에 2-색칠을 적용하여 각 기계가 활성 집합 내의 나머지 작업들의 총 무게의 최소 절반 이상을 확보하도록 작업을 할당한다.
• LST-라운딩 기법을 변형하여 MaxMin-할당 문제의 반정수 해를 생성함으로써 부하 손실이 상수 배수 이내로 제한되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비동일 그래프 균형 문제에 대한 구성-LP의 정수성 간극은 무엇인가요?
• RQ2 비동일 그래프 균형 문제의 정수성 간극은 제한된 할당 문제의 정수성 간극과 어떻게 비교될 수 있나요?
• RQ3 순수 조합적 2-근사 알고리즘을 설계하여 비용이 많이 드는 LP 해법을 피할 수 있을까요?
• RQ4 MaxMin-할당 문제의 어떤 다루기 쉬운 경우에서 더 나은 근사 인자를 달성할 수 있을까요?
• RQ5 반정수 해를 효율적으로 계산하여 MaxMin-할당 문제의 상수 배수 근사 보존이 가능할 수 있을까요?

주요 결과

• 비동일 그래프 균형 문제에 대해 구성-LP의 정수성 간극은 2이며, 제한된 할당 케이스에서는 간극이 최대 33/17이지만 비동일 그래프 균형 문제에서는 2임을 확인한다.
• 비동일 그래프 균형 문제의 정수성 간극이 더 크기 때문에 제한된 할당 케이스보다 훨씬 더 복잡한 문제임을 시사한다.
• 순수 조합적 2-근사 알고리즘을 제시하여, P = NP가 아닐 경우 최적임을 보장한다.
• 알고리즘은 O(|I|²) 시간 내에 실행되며, LP 기반 방법의 계산 오버헤드를 피한다.
• 반정수 해는 다항 시간 내에 계산 가능하며, 목적 함수 값이 최적의 정수 해의 최소 절반 이상을 확보한다.
• 큰 작업의 수가 상수이거나, 모든 기계 중 O(log n)대를 제외한 나머지 기계에서 큰 작업의 할당이 알려진 경우, 2-근사가 달성 가능하다.