[논문 리뷰] On the congruence subgroup property for GGS-groups

Gustavo A. Fernández‐Alcober, Alejandra Garrido외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 12.

Finite Group Theory Research참고 문헌 14인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 비상수 정의 벡터를 가진 모든 GGS-군이 합동부분군 성질을 만족함을 입증하며, 유한생성되며 잔여유한이고 비탄성군인 군들 중에서 그 프로-피 군 완비화가 프로-p 군인 새로운 예를 제공한다—바르나의 질문에 답한다. 반면, 상수 정의 벡터를 가진 GGS-군은 무한한 합동핵을 가지며 분지군이 아니며, 정의 벡터에 대한 특정 조건을 만족할 경우 그 도함수군은 비탄성일 수 있다.

ABSTRACT

We show that all GGS-groups with non-constant defining vector satisfy the congruence subgroup property. This provides, for every odd prime $p$, many examples of finitely generated, residually finite, non-torsion groups whose profinite completion is a pro-$p$ group, and among them we find torsion-free groups. This answers a question of Barnea. On the other hand, we prove that the GGS-group with constant defining vector has an infinite congruence kernel and is not a branch group.

연구 동기 및 목표

• 비상수 정의 벡터를 가진 GGS-군이 합동부분군 성질을 만족하는지 결정하는 것.
• 상수 정의 벡터를 가진 GGS-군의 합동핵과 군론적 구조를 분석하는 것.
• 바르나의 질문에 답하는 것—무한하고 유한생성되며 잔여유한이고 비탄성인 군들 중에서 그 프로-피 군 완비화가 프로-p 군이 되는 것이 가능한지, 그리고 그러한 군들이 비탄성일 수 있는지 여부.
• GGS-군의 도함수군이 비탄성일 조건을 특정하는 것.

제안 방법

• 비상수 GGS-군에 대해 합동부분군 성질을 입증하기 위해 바르톨디와 그리고치크의 정규 분지군에 대한 일반 기준을 적용하는 것.
• 안정자와 수준 성분의 구조를 분석하기 위해 ψn: stG(n) → Aut T × pn의 동형사상을 사용하는 것.
• 도함수군의 비탄성성을 보장하는 Fp^{p-1} 내의 벡터에 대해 TF라는 성질을 정의하여 와이어드 프로덕트 구조 내의 성분 분석을 통해 확인하는 것.
• 생성자 a와 그 공액군 bi = b^ai의 작용을 분석하여 stG(1)에 속하는 h에 대해 ψ(h)의 성분의 곱에 대한 조건을 도출하는 것.
• 정의 벡터와 관련된 순환행렬 C를 사용하여 성분 인덱스 (m1,…,mp)를 계산하고 TF 성질을 확인하는 것.
• 유한지수부분군에 대해 합동부분군 성질이 유전적임을 이용하여 비탄성 문제를 도함수군으로 환원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 비상수 정의 벡터를 가진 GGS-군이 합동부분군 성질을 만족하는가?
• RQ2 상수 정의 벡터를 가진 GGS-군은 무한한 합동핵을 가지는가?
• RQ3 상수 정의 벡터를 가진 GGS-군은 분지군인가?
• RQ4 무한하고 유한생성되며 잔여유한이고 비탄성인 군들 중에서 그 프로-피 군 완비화가 프로-p 군이 되는 것이 가능한가?
• RQ5 정의 벡터에 대해 어떤 조건을 만족할 경우 GGS-군의 도함수군이 비탄성인가?

주요 결과

• 비상수 정의 벡터를 가진 모든 GGS-군은 정규 분지군에 대한 일반 기준을 통해 합동부분군 성질을 만족함을 입증하였다.
• 정의 벡터 e = (1,…,1)을 가진 GGS-군은 무한한 합동핵을 가지며, 이는 그 프로-피 군 완비화가 그 합동완비화와 다름을 의미한다.
• 동일한 GGS-군은 약한 분지군이기는 하지만 분지군이 아니며, 이는 자기유사성에 대한 구조적 질문을 해결한다.
• 정의 벡터 e = (1,…,1,λ)이며 λ ≠ 1,2인 GGS-군의 도함수군 G′은 비탄성이며, 이는 바르나의 두 번째 질문에 대한 긍정적 답변이 된다.
• λ ≠ 1,2일 경우 도함수군 G′은 무한하고 유한생성되며 잔여유한이며 프로-p 프로-피 군 완비화를 가진다.
• 벡터 e ∈ Fp^{p-1}가 성질 TF를 만족하는 것은, 모든 합이 0인 비영인 (i1,…,ip) ∈ Fp^p에 대해, mjij ≠ 0인 j가 존재하는 것과 동치이며, 여기서 (m1,…,mp) = (i1,…,ip)C이다; 만약 e가 TF를 만족하면 G′는 비탄성이다.